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数列の極限
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数列の極限
Limit of a Sequence
数列の行き先
aₙ = 1 + 1/n の項が極限 L = 1 に収束
表示する項数
5個
👀 見て理解
金色の点が各項。n が大きくなるほど点は赤い破線（L = 1）に限りなく近づく。これが「収束」。
ε-N で理解する
金色帯（ε 帯）に項が収まる様子
📏 ε 帯の意味
①n を増やすと帯（ε 帯）は狭くなる
②どれほど狭い ε でも、十分大きな N 以降の全項が帯内
③これが収束の厳密な定義
ε-N 定義
∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a
n
− L| < ε
任意の正の ε に対し、十分大きな N が存在し n ≥ N で |aₙ − L| < ε
収束と発散の比較
収束する数列と発散する数列の比較
数列を選択
0
🔍 3 つのパターン
①0：1+1/n → 1 に収束
②1：(-1)ⁿ(1+1/n) — 振動して発散
③2：n/(n+1) → 1 に収束（下から接近）
極限の基本性質
数列の四則演算
lim(a
n
± b
n
) = α ± β, lim(a
n
· b
n
) = α · β
収束する 2 数列の和・差・積の極限
商の極限
lim
a
n
b
n
=
α
β
(β ≠ 0)
β ≠ 0 のとき商の極限は極限の商
はさみうちの定理
a
n
≤ c
n
≤ b
n
, lim a
n
= lim b
n
= L ⇒ lim c
n
= L
上下から同じ値で挟めば、間も同じ値に収束
まとめ
主要な極限公式
lim
n→∞
1
n
p
= 0 (p > 0), lim
n→∞
r
n
= 0 (|r| < 1)
1/n
p
→ 0、|r| < 1 で r
n
→ 0
🎯 試験ポイント
①定義：ε-N の流れを把握
②各々収束すれば四則演算可
③振動する数列は極限を持たない
④挟みうちで両端が一致なら中も収束
⑤1/n^p → 0、r^n → 0（|r| < 1）の公式必須
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