数列の極限

Limit of a Sequence

数列は、n ごとに一つずつ値が並ぶ終わりのない列です。 n をどんどん大きくしたとき、値がある一つの行き先へ落ち着いていくかどうかが焦点で、その行き先こそが極限です。限りなく近づけば収束、行き先が定まらず散らばったり上下に跳ねたりすれば発散と呼びます。表示する項数を増やして点が L = 1 に集まる様子を確かめ、数列を切り替えて収束と発散を見比べてみましょう。

数列の行き先

表示する項数5個

👀 見て理解

金色の点が各項。n が大きくなるほど点は赤い破線（L = 1）に限りなく近づく。これが「収束」。

ε-N で理解する

📏 ε 帯の意味

①n を増やすと帯（ε 帯）は狭くなる

②どれほど狭い ε でも、十分大きな N 以降の全項が帯内

③これが収束の厳密な定義

ε-N 定義

∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε

任意の正の ε に対し、十分大きな N が存在し n ≥ N で |aₙ − L| < ε

収束と発散の比較

数列を選択0

🔍 3 つのパターン

①0：1+1/n → 1 に収束

②1：(-1)ⁿ(1+1/n) — 振動して発散

③2：n/(n+1) → 1 に収束（下から接近）

極限の基本性質

数列の四則演算

lim(a_n ± b_n) = α ± β, lim(a_n · b_n) = α · β

収束する 2 数列の和・差・積の極限

商の極限

lim a_nb_n = αβ (β ≠ 0)

β ≠ 0 のとき商の極限は極限の商

はさみうちの定理

a_n ≤ c_n ≤ b_n, lim a_n = lim b_n = L ⇒ lim c_n = L

上下から同じ値で挟めば、間も同じ値に収束

例題で確認

例題 1

極限 lim_n→∞ 2n+3n-1 の値を求めよ。

分子と分母をそれぞれ n で割る。

2n+3n-1 = 2 + 3/n1 - 1/n

n → ∞ のとき 3/n → 0、1/n → 0。

2 + 01 - 0 = 2

▸ 2

分数式の極限は、分母の最高次の項で分子・分母を割るのが定石。

例題 2

極限 lim_n→∞ sin nn の値を求めよ。

−1 ≤ sin n ≤ 1 なので、両辺を正の数 n で割る。

-1n ≤ sin nn ≤ 1n

両端の極限がともに 0 なので、はさみうちの定理で中央も 0。

lim_n→∞ (-1/n) = lim_n→∞ 1n = 0

▸ 0

sin・cos のように有界な数列は ±1/n で挟み、はさみうちの定理を使う。

まとめ

主要な極限公式

lim_n→∞ 1n^p = 0 (p > 0), lim_n→∞ rⁿ = 0 (|r| < 1)

1/n^p → 0、|r| < 1 で rⁿ → 0

共通テスト類題

極限 lim_n→∞ (√(n²+3n) − n) の値は？

①1

②32

③2

④3

⑤∞（発散）

▸ ② 32

根号を含む ∞ − ∞ 型なので、共役な式を掛けて有理化する。

√(n²+3n) − n = 3n√(n²+3n) + n

分子・分母を n で割ると、分母は 2 に収束する。

3√(1 + 3/n) + 1 → 32

🎯 試験ポイント

①定義：ε-N の流れを把握

②各々収束すれば四則演算可

③振動する数列は極限を持たない

④挟みうちで両端が一致なら中も収束

⑤1/n^p → 0、r^n → 0（|r| < 1）の公式必須

等比数列の極限

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