定積分で定義された関数

Functions Defined by Integrals

定積分の上端を少しずつ外へ伸ばしていくと、そこまでに集まった符号付き面積が、x についての新しい関数 F(x) になります。 f が正の区間では面積が加わって F が増え、負の区間では面積が削られて F が減ります。驚くことに、この面積から作った F を微分すると元の被積分関数 f がそのまま戻り、これが微分積分学の基本定理です。上端 x のスライダーを動かして、塗られた面積がどう積もり、F の値がいつ増えて減るかを確かめてみましょう。

面積が積もって関数になる

上端 x1.5

👀 目で見る

①F(x) は 0 から x までの f の符号付き面積

②f が正の区間では面積が加わり F が増加

③f が負の区間では F が減少

④f の符号が変わる x で F は極値

微分すると被積分関数が出る

微分積分学の基本定理 (第2)

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

下端 a は定数、上端 x で微分すると f(x) そのもの

下端での値

F(a) = ∫_a^a f(t) dt = 0

積分区間が一点なら面積は 0

F の増減と極値

F の増減判定

F'(x) = f(x) ⇒ f>0 なら F 増加、f<0 なら F 減少

F の極値は f(x)=0 かつ符号が変わる x に生じる

直接求めてみる

例題 1

F(x)=∫₀^x (t−2) dt の極値を求めよ。

基本定理で微分すると被積分関数が出る。

F'(x) = x − 2

F'(x)=0 ⇒ x=2、前後で符号が −→+ なので極小。

F(2) = ∫₀² (t−2) dt = [t²2 − 2t]₀² = −2

▸ 極小値 −2

F を直接積分せずとも F′=f で増減を先に判断できる。

例題 2

F(x)=∫₀^x (t²−3t+2) dt のとき F'(1) を求めよ。

基本定理で F'(x)=f(x) なので t に x を入れた式が F′。

x=1 を代入する。

F'(1) = 1 − 3 + 2 = 0

▸ 0

F を積分して求める必要はなく、f(1) を直接計算すればよい。

まとめ

中心となる結果

F(x)=∫_a^x f(t) dt ⇒ F'(x)=f(x), F(a)=0

微分すれば被積分関数、下端で 0 — この二つがすべての出発点

2021 評価院模試数学(微積分) 類題

関数 F(x)=∫₀^x (t²−2t) dt の極小値は?

①−4/3

②−2/3

③0

④4/3

⑤2

▸ ① −4/3

F'(x)=x²−2x=x(x−2)=0 ⇒ x=0, x=2。x=2 で符号 −→+ なので極小。

F(2)=∫₀² (t²−2t) dt = [t³3 − t²]₀² を計算する。

F(2) = 83 − 4 = −43

🎯 試験ポイント

①F(x)=∫_a^x f(t)dt なら F'(x)=f(x)

②F(a)=0(下端で面積 0)

③F の極値は f の符号変化点

④極値を問う問題はその x で再び積分して値を計算

⑤上端が g(x) なら合成で F'=f(g(x))·g'(x)