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高校3年生 (17-18歳)

数III 定積分で定義された関数 わかりやすく

Functions Defined by Integrals

定積分の上端を x として動かすと、それまでにたまった符号つきの面積が x の関数 F(x) になります。 f が正の区間を通るあいだは面積が加わって F が大きくなり、負の区間では面積が引かれて F が小さくなります。 こうして面積からつくった F を微分すると、もとの被積分関数 f がそのまま出てきます。これが微分積分学の基本定理です。 上端 x を動かすと、塗った面積と金色の曲線 F がいっしょに変わり、F が減って x = 1 で最小になったあと、また増えていく様子が見られます。

面積がたまって関数になる

1.5
👀 図から読み取ること
①F(x) は 0 から x までの f(t) = t − 1 による符号つきの面積である
②0 < x < 1 では f が負なので、赤い面積がたまって F は減少する
③x = 1 で f の符号が負から正に変わるので F は極小となり、その値は F(1) = −1/2 である
④x > 1 では緑の面積が加わって F は再び増加し、x = 2 で 2 つの面積が等しくなって F(2) = 0 となる
⑤上の帯の F′(x) = f(x) は青い点の高さに等しく、その符号で金色の曲線の上り下りが決まる

微分すると被積分関数が出てくる

微分積分学の基本定理
ddx ∫ax f(t) dt = f(x)
下端 a が定数のとき、上端 x で微分すると f(x) がそのまま出る。上端が g(x) なら合成関数の微分法により F′(x) = f(g(x)) · g′(x) である
下端での値
F(a) = ∫aa f(t) dt = 0
積分区間の幅が 0 なら面積も 0 である

F の増減と極値

F の増減の判定
F′(x) = f(x) ⇒ f > 0 なら F は増加、f < 0 なら F は減少
F は f(x) = 0 となり、かつ f の符号が変わる x で極値をとる

例題

例題 1
F(x) = ∫0x (t − 2) dt の極値を求めよ。
1
基本定理により、F を微分すると被積分関数が出てくる。
F′(x) = x − 2
2
F′(x) = 0 より x = 2 で、その前後で符号が負から正に変わるので極小である。
F(2) = ∫02 (t−2) dt = [t22 − 2t]02 = −2
▸ 極小値 −2
F を先に積分しなくても、F′ = f で増減を判断できる。値が必要なときだけ、その x まで積分する。
例題 2
F(x) = ∫0x (t² − 3t + 2) dt のとき、F′(1) の値を求めよ。
1
基本定理より F′(x) = f(x) なので、被積分関数の t を x に置きかえた式が F′(x) である。
2
x = 1 を代入する。
F′(1) = 1 − 3 + 2 = 0
▸ 0
F を積分して求める必要はなく、f(1) を計算すればよい。

まとめ

要点
F(x) = ∫ax f(t) dt ⇒ F′(x) = f(x), F(a) = 0
微分すると被積分関数が出てきて、下端での値は 0 である。ほとんどの問題はこの 2 つから始まる
2021 評価院 模試 数学（微積分） 類題
関数 F(x) = ∫0x (t² − 2t) dt の極小値は。
①−4/3
②−2/3
③0
④4/3
⑤2
▸ ① −4/3
1
F′(x) = x² − 2x = x(x − 2) = 0 より x = 0, 2。x = 2 の前後で符号が負から正に変わるので極小である。
2
F(2)=∫02 (t²−2t) dt = [t33 − t²]02 を計算する。
F(2) = 83 − 4 = −43
🎯 試験ポイント
①F(x) = ∫_a^x f(t) dt なら F′(x) = f(x) である
②F(a) = 0 である
③F の極値は f の符号が変わる x で生じる
④極値を問われたら、その x まで積分し直して値を求める
⑤上端が g(x) なら合成関数の微分法により F′(x) = f(g(x)) · g′(x) である
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最終更新

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