等比数列の極限

Limit of a Geometric Sequence

等比数列は、同じ数 r を次々に掛けてつくられる数列です。掛ける r の大きさが 1 より小さければ項はだんだん小さくなり 0 へ消え、1 より大きければ雪だるま式にふくらんで発散します。つまり rⁿ の運命はただ一つ、公比 r の大きさが決め、境界はちょうど r=1 と r=-1 にあります。公比 r のスライダーを動かし、点が 0 へ折りたたまれるか、爆発的に跳ね上がるか、あるいは 1 と -1 を行き来して振動するかを確かめてみましょう。

rⁿ の運命は r が決める

公比 r0.7

👀 目で見る

①|r|<1 なら掛けるほど小さくなり 0 へ収束

②r=1 ならずっと 1

③r=−1 なら 1 と −1 を振動(発散)

④|r|>1 なら爆発的に発散

四つの場合に分類

lim rⁿ の分類

Chart公比 r による lim rⁿ

公比 r	lim rⁿ	挙動
\|r\|<1	0	収束
r=1	1	収束
r=−1	なし	振動·発散
\|r\|>1	なし	発散

🧭 境界は r=1 と r=−1

①分岐点は |r|=1

②収束する区間は −1<r≤1 のただ一つの帯

③r=−1 は振動なので収束ではない

④この境界感覚が等比極限問題すべての核心

収束条件を一行で

等比数列 rⁿ の収束条件

lim_n→∞ rⁿ が収束 ⇔ -1 < r ≤ 1

この範囲でのみ極限値が存在(−1<r<1 なら 0、r=1 なら 1)

中心となる極限値

-1<r<1 ⇒ lim_n→∞ rⁿ = 0

絶対値が 1 より小さい公比は累乗すると 0 へ消える

分数形の極限 — 最大の項で割る

✏️ 分数形の極限 — 最大の項で割る

分子・分母に rⁿ が混じるときは、|r| が最大の項で割って 0 に向かう部分を作る。

例題 1

r>1 のとき lim_n→∞ rⁿ - 1rⁿ + 1 を求めよ。

分子・分母を最大の項 rⁿ で割る。

rⁿ - 1rⁿ + 1 = 1 - (1/r)ⁿ1 + (1/r)ⁿ

r>1 なら 1/r<1 なので (1/r)ⁿ→0。

→ 1 - 01 + 0 = 1

▸ 1

「どちらが速く大きくなるか」を見極めてその項で割るのが分数形極限の定石。

まとめ

等比数列の極限まとめ

lim_n→∞ rⁿ = 0 (−1<r<1), 1 (r=1), 発散 (その他)

収束は −1<r≤1、その中で r=1 だけが 1、残りは 0

2022 修能数学(微積分) 第23問改題

lim_n→∞ 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ の値は?

①0

②1

③2

④3

⑤発散

▸ ④ 3

最大の底 3ⁿ で分子・分母を割る。

3·3ⁿ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ = 3 + (2/3)ⁿ1 - (2/3)ⁿ

(2/3)ⁿ→0 なので極限は 3/1。

→ 3 + 01 - 0 = 3

🎯 試験ポイント

①lim rⁿ は −1<r≤1 でのみ収束

②分数形は最大の底で割る

③(小さい底/大きい底)ⁿ→0 を作れ

④r=−1 の振動は発散だと忘れない

⑤指数に n があれば等比数列の極限をまず疑う