seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III 等比数列の極限 わかりやすく

Limit of a Geometric Sequence

等比数列は、同じ数 r を次々に掛けてつくる数列です。 |r| が 1 より小さければ掛けるたびに項が小さくなって 0 に近づき、1 より大きければ掛けるたびに大きくなって、どの値にも落ち着きません。 そのため lim rⁿ があるかどうかは公比 r だけで決まり、分かれ目は r = 1 と r = −1 です。 公比のスライダーを動かすと、n = 1 から 12 までの点が 0 に集まったり、図の外へ出たり、1 と −1 を交互にとったりする様子が見られます。

rⁿ の極限は r で決まる

0.7
👀 図から読み取れる 4 つの様子
①|r| < 1 なら、掛けるたびに絶対値が小さくなり 0 に収束する。r が負なら上下に交互に振れながら 0 に近づく
②r = 1 なら、すべての項が 1 である
③r = −1 なら −1 と 1 を交互にとるので、極限はない（振動）
④|r| > 1 なら絶対値が限りなく大きくなり発散する。r = 1.5 では r¹² がすでに 129 を超える
⑤上の帯の r¹² の値を見ると、r = 0.9 のように 1 に近い公比は 0 にゆっくりとしか近づかないこともわかる

4 つの場合

rⁿ の極限

公比 r と lim rⁿ
公比 rlim rⁿ収束・発散
|r| < 10収束
r = 11収束
r = −1なし発散（振動）
|r| > 1なし発散
🧭 分かれ目は r = 1 と r = −1
①境界は |r| = 1 である
②収束する範囲は −1 < r ≤ 1 である。右端の r = 1 は含み、左端の r = −1 は含まない
③r = −1 では項の大きさが 1 のままでも値が 1 つに定まらないので、収束しない
④等比数列の極限の問題は、結局のところ公比がこの範囲のどこにあるかを問うている

収束の条件

数列 {rⁿ} が収束する条件
limn→∞ rn が収束 ⇔ −1 < r ≤ 1
この範囲でだけ極限値がある。−1 < r < 1 なら 0、r = 1 なら 1 である
いちばんよく使う極限
−1 < r < 1 ⇒ limn→∞ rn = 0
絶対値が 1 より小さい数は、累乗するほど 0 に近づく

分数の形の極限は、いちばん速く大きくなる項で割る

✏️ 分数の形の極限は、いちばん速く大きくなる項で割る
分子と分母に aⁿ の形の項が混ざっているときは、底の絶対値がいちばん大きい項で分子と分母を割る。すると残りの項は（小さい底/大きい底）ⁿ の形になって 0 に近づく。
例題 1
r>1 のとき limn→∞ rn - 1rn + 1 を求めよ。
1
分子と分母を、いちばん速く大きくなる項 rⁿ で割る。
rn - 1rn + 1 = 1 - (1/r)n1 + (1/r)n
2
r > 1 なら 0 < 1/r < 1 なので (1/r)ⁿ → 0 である。
→ 1 - 01 + 0 = 1
▸ 1
どの項がいちばん速く大きくなるかを見きわめ、その項で割るのが分数の形の極限の基本である。

まとめ

等比数列の極限
limn→∞ rn = 0 (−1 < r < 1), 1 (r = 1), 発散 (それ以外)
収束するのは −1 < r ≤ 1 のときで、その中で極限値が 1 になるのは r = 1 のときだけ、ほかは 0 である
2022 韓国修能 数学（微積分） 23番 類題
limn→∞ 3n+1 + 2n3n - 2n の値は?
①0
②1
③2
④3
⑤発散
▸ ④ 3
1
底がいちばん大きい 3ⁿ で分子と分母を割る。
3·3n + 2n3n - 2n = 3 + (2/3)n1 - (2/3)n
2
(2/3)ⁿ → 0 なので、極限は 3/1 = 3 である。
→ 3 + 01 - 0 = 3
🎯 試験ポイント
①lim rⁿ が収束するのは −1 < r ≤ 1 のときだけ
②分数の形は、底の絶対値がいちばん大きい項で割る
③割ったあとは（小さい底/大きい底）ⁿ → 0 を使う
④r = −1 は振動するので発散である
⑤指数に n があれば、まず等比数列の極限を思い浮かべる
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最終更新

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