seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

方程式と不等式への活用

Equations & Inequalities

実根はグラフの交点
0
👀 目で見る
①方程式 f(x)=k の実根は y=f(x) と y=k の交点
②k を上下させると交点数が 1↔3 に変わる
③境界は極大値・極小値を通る瞬間
三次方程式の実根の個数判定
極値の符号で判定
(極大値) × (極小値) < 0 ⇒ 相異なる実根 3 個
積が 0 なら重根(2 個)、0 より大きければ 1 個
f(x)=k の形に分離
定数分離
f(x)=k の実根の数 = y=f(x) と y=k の交点の数
k を動く水平線と見れば、極値が境界になる
直接解いてみる
例題 1
方程式 x³−3x+1=0 の相異なる実根の個数を求めよ。
1
f(x)=x³−3x+1, f'(x)=3x²−3=0 から x=±1。
2
極大値 f(−1)=3>0、極小値 f(1)=−1<0 — 符号が異なる。
(極大値)(極小値) < 0 ⇒ 実根 3 個
▸ 3 個
三次関数は極大値・極小値の符号だけで実根の個数がすぐ分かる。
例題 2
x ≥ 0 で不等式 x³−3x+2 ≥ 0 が成り立つことを示せ。
1
g(x)=x³−3x+2, g'(x)=3x²−3=0 で x≥0 なら x=1。
2
x≥0 での最小値は g(1)=1−3+2=0 ≥ 0。
minx≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0
▸ 最小値 0 ≥ 0 なので成立
不等式の証明は (左辺−右辺) の最小値が 0 以上であることを示すのが定石。
まとめ
中心となる戦略
実根の数 = グラフの交点, 不等式 = 最小値の符号
方程式は極値の符号で、不等式は最小値で — 微分で一貫して解く
2022 教育庁 学力評価 数学 類題
方程式 x³−3x = k が相異なる三つの実根をもつような実数 k の値の範囲は?
①k < −2
②−2 < k < 2
③k > 2
④k = ±2
⑤すべての実数
▸ ② −2 < k < 2
1
f(x)=x³−3x, f'(x)=3x²−3=0 から極大 f(−1)=2、極小 f(1)=−2。
2
三つの実根の条件は水平線 y=k が極小値と極大値の間にあること。
−2 < k < 2
🎯 試験ポイント
①方程式の実根 = グラフの交点に還元
②三次の実根数は (極大)(極小) の符号で
③f(x)=k は定数分離して水平線移動で
④不等式は (差) の最小値 ≥ 0 を示す
⑤定義域に制限があればその区間の最小値を見る
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