seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III 方程式と不等式への活用 わかりやすく

Equations & Inequalities

方程式を解けと言われると、たいてい計算で x を探そうとしますが、微分を使えば方程式を1枚のグラフにおきかえて見ることができます。 x³ − 3x = k の実数解は、曲線 y = x³ − 3x と水平な直線 y = k の交点の x 座標と同じなので、解がいくつあるかを計算せずに数えられます。 不等式も同じで、両辺の差の最小値が0以上かどうかを確かめれば証明が終わります。 図で水平な直線 y = k を上下に動かすと、交点が3個から1個に変わる境目が、極大値2と極小値 −2 のところだとわかります。

実数解はグラフの交点

0
👀 図から読みとること
①方程式 f(x) = k の実数解は、y = f(x) と y = k の交点の x 座標である
②−2 < k < 2 なら交点は3個、k > 2 または k < −2 なら1個である
③k = ±2 なら直線が山の頂上か谷の底に接して重解ができ、異なる実数解は2個である
④境目となる k は極大値と極小値である

3次方程式の実数解の個数

極値の符号で判定
(極大値) × (極小値) < 0 ⇒ 相異なる実根 3 個
積が0なら重解があって異なる実数解は2個、正なら1個である

f(x) = k の形に分ける

定数を分ける
f(x)=k の実根の数 = y=f(x) と y=k の交点の数
k を上下に動く水平な直線と見ると、極値が個数の変わる境目になる

例題で確かめる

例題 1
方程式 x³−3x+1=0 の相異なる実根の個数を求めよ。
1
f(x) = x³ − 3x + 1 とおくと、f'(x) = 3x² − 3 = 0 から x = ±1 である。
2
極大値 f(−1) = 3 > 0、極小値 f(1) = −1 < 0 で符号が異なる。
(極大値)(極小値) < 0 ⇒ 実根 3 個
▸ 3 個
山の頂上は x 軸より上、谷の底は x 軸より下にあるので、グラフは x 軸を3回横切る。図で k = −1 にしたときと同じ状況である。
例題 2
x ≥ 0 で不等式 x³−3x+2 ≥ 0 が成り立つことを示せ。
1
g(x) = x³ − 3x + 2 とおくと、g'(x) = 3x² − 3 = 0 で x ≥ 0 をみたすのは x = 1 である。
2
x ≥ 0 での g の最小値は g(1) = 1 − 3 + 2 = 0 で、0以上である。
minx≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0
▸ 最小値 0 ≥ 0 なので成立
不等式は（左辺 − 右辺）の最小値が0以上であることを示せば証明できる。g(x) = (x − 1)²(x + 2) と因数分解しても、x ≥ 0 で0以上だとわかる。

まとめ

解き方の方針
実根の数 = グラフの交点, 不等式 = 最小値の符号
方程式は極値の符号で、不等式は最小値で解く
2022 教育庁 学力評価 数学 類題
方程式 x³−3x = k が相異なる三つの実根をもつような実数 k の値の範囲は？
①k < −2
②−2 < k < 2
③k > 2
④k = ±2
⑤すべての実数
▸ ② −2 < k < 2
1
f(x) = x³ − 3x で f'(x) = 3x² − 3 = 0 なので、極大値 f(−1) = 2、極小値 f(1) = −2 である。
2
異なる3つの実数解をもつには、水平な直線 y = k が極小値と極大値の間になければならない。
−2 < k < 2
🎯 試験ポイント
①方程式の実数解はグラフの交点におきかえて数える
②3次方程式の実数解の個数は（極大値）（極小値）の符号で決まる
③f(x) = k の形に定数を分けて、水平な直線を動かす
④不等式は差の最小値が0以上であることを示す
⑤x の範囲が決まっていれば、その範囲での最小値を見る
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最終更新

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