方程式と不等式への活用

Equations & Inequalities

方程式を解けと言われると普通は計算で x を探しますが、微分を使うと方程式を一枚の絵に置き換えて見られます。 x³−3x=k の実根は、曲線 y=x³−3x と水平線 y=k が交わる交点とちょうど同じなので、根の個数を計算せずに目で数えられます。不等式も同じで、両辺の差が最も小さくなる値、つまり最小値が 0 以上かどうかを確かめれば証明が終わります。水平線 y=k を上下に動かして、交点の数が 1 個から 3 個に変わる境界がなぜ極大値と極小値の位置なのかを確かめてみましょう。

実根はグラフの交点

水平線 y = k0

👀 目で見る

①方程式 f(x)=k の実根は y=f(x) と y=k の交点

②k を上下させると交点数が 1↔3 に変わる

③境界は極大値・極小値を通る瞬間

三次方程式の実根の個数判定

極値の符号で判定

(極大値) × (極小値) < 0 ⇒ 相異なる実根 3 個

積が 0 なら重根(2 個)、0 より大きければ 1 個

f(x)=k の形に分離

定数分離

f(x)=k の実根の数 = y=f(x) と y=k の交点の数

k を動く水平線と見れば、極値が境界になる

直接解いてみる

例題 1

方程式 x³−3x+1=0 の相異なる実根の個数を求めよ。

f(x)=x³−3x+1, f'(x)=3x²−3=0 から x=±1。

極大値 f(−1)=3>0、極小値 f(1)=−1<0 — 符号が異なる。

(極大値)(極小値) < 0 ⇒ 実根 3 個

▸ 3 個

三次関数は極大値・極小値の符号だけで実根の個数がすぐ分かる。

例題 2

x ≥ 0 で不等式 x³−3x+2 ≥ 0 が成り立つことを示せ。

g(x)=x³−3x+2, g'(x)=3x²−3=0 で x≥0 なら x=1。

x≥0 での最小値は g(1)=1−3+2=0 ≥ 0。

min_x≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0

▸ 最小値 0 ≥ 0 なので成立

不等式の証明は (左辺−右辺) の最小値が 0 以上であることを示すのが定石。

まとめ

中心となる戦略

実根の数 = グラフの交点, 不等式 = 最小値の符号

方程式は極値の符号で、不等式は最小値で — 微分で一貫して解く

2022 教育庁学力評価数学類題

方程式 x³−3x = k が相異なる三つの実根をもつような実数 k の値の範囲は?

①k < −2

②−2 < k < 2

③k > 2

④k = ±2

⑤すべての実数

▸ ② −2 < k < 2

f(x)=x³−3x, f'(x)=3x²−3=0 から極大 f(−1)=2、極小 f(1)=−2。

三つの実根の条件は水平線 y=k が極小値と極大値の間にあること。

−2 < k < 2

🎯 試験ポイント

①方程式の実根 = グラフの交点に還元

②三次の実根数は (極大)(極小) の符号で

③f(x)=k は定数分離して水平線移動で

④不等式は (差) の最小値 ≥ 0 を示す

⑤定義域に制限があればその区間の最小値を見る