定積分と無限級数

Definite Integrals & Series

曲線の下の面積を求めたいときは、区間を細かく刻んで薄い長方形で埋め、それを全部足すことから始めます。長方形を多く使うほどギザギザの階段が曲線にぴったり寄り添い、その個数を無限に増やした極限がまさに定積分です。だから和の中のk/nをxに、前についた1/nをdxに変えると、複雑な極限が一行の積分にまとまります。下で長方形の個数nを増やして、その合計が定積分の値1/3にどう近づくかを確かめてみましょう。

細かく分けて足せば面積

長方形の個数 n6

👀 目で見る

①区間を n 等分し長方形の面積をすべて足す

②n が大きいほど階段が曲線に密着

③極限でその和はちょうど定積分(面積)になる — これが区分求積法

区分求積法

区分求積法の核心

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ f(kn) = ∫₀¹ f(x) dx

1/n は幅(Δx)、k/n は位置(x) — 和の極限が定積分

一般区間 [a,b]

lim_n→∞ ∑_k=1ⁿ f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫_a^b f(x) dx

幅 (b−a)/n、位置 a+(b−a)k/n の長方形の和

lim 和を定積分に変える

🔁 置換規則

①k/n を x に変える

②1/n を dx に変える

③k=1~n の和は 0~1 の積分になる

④複雑な極限和もこの規則で定積分一行に

直接求めてみる

例題 1

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ kn を求めよ。

k/n を x に、1/n を dx に変える。

= ∫₀¹ x dx

定積分を計算する。

= [x²2]₀¹ = 12

▸ 1/2

和の中の k/n を変数 x、前の 1/n を dx と見ればよい。

例題 2

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ (kn)² を求めよ。

同じ規則で定積分に変える。

= ∫₀¹ x² dx

計算すると

= [x³3]₀¹ = 13

▸ 1/3

(k/n)² は x²、1/n は dx — 累乗があっても規則は同じ。

まとめ

中心となる結果

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ f(kn) = ∫₀¹ f(x) dx

無限に多い長方形の和 = 定積分(面積)

2020 修能数学(微積分) 類題

lim_n→∞ 1n ∑_k=1ⁿ √(k/n) の値は?

①1/2

②2/3

③3/4

④1

⑤発散

▸ ② 2/3

k/n→x、1/n→dx に変えると定積分になる。

= ∫₀¹ √x dx

x^1/2 を積分する。

= [23 x^3/2]₀¹ = 23

🎯 試験ポイント

①1/n·Σf(k/n) を見たら即 ∫₀¹f(x)dx

②k/n→x、1/n→dx の置換が核心

③根号・累乗が混じっても規則は同じ

④一般区間は幅 (b−a)/n・位置 a+(b−a)k/n

⑤Σ の前に 1/n がなければ区分求積法ではない