seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III 定積分と無限級数 わかりやすく

Definite Integrals & Series

曲線の下の面積を求めるときは、区間を細かく分けて細い長方形でうめ、すべて足すことから始めます。 長方形を多く使うほどでこぼこの階段が曲線に近づき、その数を限りなく増やした極限が定積分です。 だから、和の中の k/n を x に、前の 1/n を dx におきかえると、複雑な極限が1つの積分にまとまります。 図で長方形の数 n を増やすと、その和が定積分の値1/3に近づいていきます。

細かく分けて足すと面積

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👀 図から読みとること
①[0, 1] を n 等分し、長方形の面積をすべて足す
②右端の高さを使うので、和はいつも1/3より少し大きい
③n が大きくなるほど階段が曲線に近づき、和は1/3に近づく
④このように面積を求める方法を区分求積法という

区分求積法

区分求積法の要
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
1/n は横の幅（Δx）、k/n は横の位置（x）で、和の極限が定積分である
一般の区間 [a, b]
limn→∞ ∑k=1n f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫ab f(x) dx
幅が (b − a)/n、位置が a + (b − a)k/n の長方形の和である

和の極限を定積分に直す

🔁 おきかえの規則
①k/n を x におきかえる
②1/n を dx におきかえる
③k = 1 から n までの和は、0から1までの積分になる
④[0, 1] でない区間なら、幅は (b − a)/n、位置は a + (b − a)k/n とする

例題で確かめる

例題 1
limn→∞ 1n ∑k=1n kn を求めよ。
1
k/n を x に、1/n を dx におきかえる。
= ∫01 x dx
2
定積分を計算する。
= [x22]01 = 12
▸ 1/2
幅1/n、高さ k/n の長方形をすべて足したものなので、0から1までの y = x の下の三角形の面積1/2に等しい。
例題 2
limn→∞ 1n ∑k=1n (kn)2 を求めよ。
1
同じ規則で定積分に直す。
= ∫01 x2 dx
2
定積分を計算する。
= [x33]01 = 13
▸ 1/3
(k/n)² は x²、1/n は dx になる。図はまさにこの和で、n を増やすと1/3に近づく。

まとめ

要点
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
限りなく多くの長方形の和 = 定積分（面積）
2020 韓国修能 数学（微積分） 類題
limn→∞ 1n ∑k=1n √(k/n) の値は?
①1/2
②2/3
③3/4
④1
⑤発散
▸ ② 2/3
1
k/n を x に、1/n を dx におきかえると定積分になる。
= ∫01 √x dx
2
√x = x1/2 を積分する。
= [23 x3/2]01 = 23
🎯 試験ポイント
①(1/n) Σ f(k/n) の形を見たら、0から1までの f(x) の定積分に直す
②k/n → x、1/n → dx がポイント
③根号や累乗がまじっても規則は同じ
④一般の区間では幅 (b − a)/n、位置 a + (b − a)k/n とする
⑤1/n を dx にできるのは区間の長さが1のときだけ
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定積分で定義された関数
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二曲線間の面積

最終更新

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