seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III 二階導関数と変曲点 わかりやすく

Second Derivative & Inflection

関数がどこで増え、どこで減るかは導関数でわかりますが、曲線がどちら向きに曲がるかは第2次導関数 f″ の符号でわかります。 f″ が正の区間ではグラフはお椀のように下に凸（∪）、負の区間ではふたのように上に凸（∩）です。 曲がる向きが入れかわる点が変曲点で、f″ = 0 であり、さらにその左右で f″ の符号が変わる必要があります。 図で点を曲線にそって動かすと、x = 0 を通るときに曲線の色と曲がる向きがいっしょに変わります。

曲がる向きを読む

1
👀 図から読みとること
①f″ > 0 なら曲線は下に凸（∪）で、接線は曲線の下にある
②f″ < 0 なら上に凸（∩）で、接線は曲線の上にある
③y = x³ − 3x では f″(x) = 6x なので、x = 0 で凸の向きが変わる
④だから原点が変曲点である

凸の向きの判定

凸の向きの判定
f″(x) > 0 ⇒ 下に凸, f″(x) < 0 ⇒ 上に凸
第2次導関数の符号が、曲線の曲がる向きを決める
変曲点の条件
f″(a)=0 かつ x=a の前後で f″ の符号が変わる ⇒ (a, f(a)) が変曲点
f″ = 0 は必要条件にすぎず、符号が変わるかまで確かめて変曲点とわかる
🪞 f″ の符号が形を決める
①f″(x) > 0 の区間でグラフは下に凸である
②f″(x) < 0 の区間でグラフは上に凸である
③変曲点は f″ = 0 で、しかも符号が変わる点である。f″ = 0 だけでは足りない
④たとえば y = x⁴ は x = 0 で f″ = 0 だが、両側とも下に凸なので変曲点ではない

第2次導関数による極値の判定

第2次導関数による極値の判定
f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 極小 / f″(a)<0 ⇒ 極大
導関数が0になる点で、f″ の符号から極大と極小をすぐに見分ける

例題で確かめる

例題 1
f(x)=x³−3x²+1 の変曲点の座標を求めよ。
1
第2次導関数を求める。
f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6
2
f″(x) = 0 を解き、符号が変わるかを確かめてから y 座標を求める。
f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1
▸ (1, −1)
x = 1 の左右で f″ の符号が − から + に変わるので、たしかに変曲点である。
例題 2
二階導関数判定で f(x)=x³−3x の極値を求めよ。
1
f'(x) = 3x² − 3 = 0 から x = ±1 で、f″(x) = 6x である。
2
f″(1) = 6 > 0 なので極小、f″(−1) = −6 < 0 なので極大である。
極小値 f(1)=−2, 極大値 f(−1)=2
▸ 極大値 2、極小値 −2
増減表をかかなくても、f″ の符号1つで極大と極小が分かれる。図の曲線がまさにこの関数である。

まとめ

要点
f″>0 下に凸, f″<0 上に凸, 符号変化点 = 変曲点
グラフの形は、f′（増減）と f″（凸の向き・変曲点）をあわせて読んでかく
2021 評価院 模試 数学（微積分） 類題
関数 f(x)=x³−6x²+9x+1 の変曲点の座標は？
①(1, 5)
②(2, 3)
③(2, 5)
④(3, 1)
⑤変曲点なし
▸ ② (2, 3)
1
f'(x) = 3x² − 12x + 9 で、f″(x) = 6x − 12 である。
2
f″(x) = 0 から x = 2 で、f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3 である。
変曲点 (2, 3)
🎯 試験ポイント
①f″ > 0 なら下に凸、f″ < 0 なら上に凸
②変曲点には f″ = 0 と符号の変化の両方が必要
③極値は f′ = 0 の点で f″ の符号から判定する
④グラフの形は f′ と f″ の符号表からかく
⑤変曲点は y 座標まで求めて座標で答える
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最終更新

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