高校3年生 (17-18歳)

二階導関数と変曲点

Second Derivative & Inflection

曲がる向きを読む

点の位置 x1

👀 目で見る

①f″>0 なら曲線は下に凸(∪)

②f″<0 なら上に凸(∩)

③凸の向きが変わる点が変曲点

④点を動かすと色が変わる所が変曲点

凹凸の定義

凹凸の判定

f″(x) > 0 ⇒ 下に凸, f″(x) < 0 ⇒ 上に凸

二階導関数の符号が曲線の曲がる向きを決める

変曲点の条件

f″(a)=0 かつ x=a の前後で f″ の符号が変わる ⇒ (a, f(a)) が変曲点

f″=0 は必要条件にすぎない — 符号変化まで確認する

🪞 f″ の符号が形を決める

①f″(x)>0 の区間でグラフは下に凸

②f″(x)<0 の区間で上に凸

③変曲点は f″=0 かつ符号が変わる所 — f″=0 だけでは不十分

二階導関数による極値判定

二階導関数判定法

f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 極小 / f″(a)<0 ⇒ 極大

臨界点で f″ の符号により極大・極小を素早く判定

直接求めてみる

例題 1

f(x)=x³−3x²+1 の変曲点の座標を求めよ。

1

二階導関数を求める。

f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6

2

f″(x)=0 を解き、符号変化を確認してから y 座標を求める。

f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1

▸ (1, −1)

x=1 の前後で f″ が −→+ に変わるので変曲点で正しい。

例題 2

二階導関数判定で f(x)=x³−3x の極値を求めよ。

1

f'(x)=3x²−3=0 から x=±1、f″(x)=6x。

2

f″(1)=6>0 なので極小、f″(−1)=−6<0 なので極大。

極小値 f(1)=−2, 極大値 f(−1)=2

▸ 極大値 2, 極小値 −2

f′ の符号表なしでも、f″ の符号一つで極大・極小が分かれる。

まとめ

中心となる結果

f″>0 下に凸, f″<0 上に凸, 符号変化点 = 変曲点

グラフの概形は f′(増減)と f″(凹凸・変曲)を合わせて読む

2021 評価院模試数学(微積分) 類題

関数 f(x)=x³−6x²+9x+1 の変曲点の座標は?

①(1, 5)

②(2, 3)

③(2, 5)

④(3, 1)

⑤変曲点なし

▸ ② (2, 3)

1

f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12。

2

f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3。

変曲点 (2, 3)

🎯 試験ポイント

①f″>0 下に凸・f″<0 上に凸

②変曲点は f″=0 + 符号変化(両方必要)

③極値は f'=0 の後 f″ の符号で判定

④概形は f'・f″ の符号表で

⑤変曲点は y 座標まで必ず求める

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