二階導関数と変曲点

Second Derivative & Inflection

関数がどこで増えて減るかは一階導関数が教えてくれますが、曲線がどちらに曲がるかは二階導関数 f″ が教えてくれます。 f″ が正の区間ではグラフはコップのように下に凸(∪)、負の区間ではふたのように上に凸(∩)になります。この曲がる向きが反転するちょうどその点が変曲点で、f″=0 になり左右で符号まで変わって初めて本物の変曲点と認められます。点を曲線の上でゆっくり動かし、f″ の符号が変わるとき色と曲がる向きが一緒に反転する変曲点を自分で見つけてみましょう。

曲がる向きを読む

点の位置 x1

👀 目で見る

①f″>0 なら曲線は下に凸(∪)

②f″<0 なら上に凸(∩)

③凸の向きが変わる点が変曲点

④点を動かすと色が変わる所が変曲点

凹凸の定義

凹凸の判定

f″(x) > 0 ⇒ 下に凸, f″(x) < 0 ⇒ 上に凸

二階導関数の符号が曲線の曲がる向きを決める

変曲点の条件

f″(a)=0 かつ x=a の前後で f″ の符号が変わる ⇒ (a, f(a)) が変曲点

f″=0 は必要条件にすぎない — 符号変化まで確認する

🪞 f″ の符号が形を決める

①f″(x)>0 の区間でグラフは下に凸

②f″(x)<0 の区間で上に凸

③変曲点は f″=0 かつ符号が変わる所 — f″=0 だけでは不十分

二階導関数による極値判定

二階導関数判定法

f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 極小 / f″(a)<0 ⇒ 極大

臨界点で f″ の符号により極大・極小を素早く判定

直接求めてみる

例題 1

f(x)=x³−3x²+1 の変曲点の座標を求めよ。

二階導関数を求める。

f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6

f″(x)=0 を解き、符号変化を確認してから y 座標を求める。

f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1

▸ (1, −1)

x=1 の前後で f″ が −→+ に変わるので変曲点で正しい。

例題 2

二階導関数判定で f(x)=x³−3x の極値を求めよ。

f'(x)=3x²−3=0 から x=±1、f″(x)=6x。

f″(1)=6>0 なので極小、f″(−1)=−6<0 なので極大。

極小値 f(1)=−2, 極大値 f(−1)=2

▸ 極大値 2, 極小値 −2

f′ の符号表なしでも、f″ の符号一つで極大・極小が分かれる。

まとめ

中心となる結果

f″>0 下に凸, f″<0 上に凸, 符号変化点 = 変曲点

グラフの概形は f′(増減)と f″(凹凸・変曲)を合わせて読む

2021 評価院模試数学(微積分) 類題

関数 f(x)=x³−6x²+9x+1 の変曲点の座標は?

①(1, 5)

②(2, 3)

③(2, 5)

④(3, 1)

⑤変曲点なし

▸ ② (2, 3)

f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12。

f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3。

変曲点 (2, 3)

🎯 試験ポイント

①f″>0 下に凸・f″<0 上に凸

②変曲点は f″=0 + 符号変化(両方必要)

③極値は f'=0 の後 f″ の符号で判定

④概形は f'・f″ の符号表で

⑤変曲点は y 座標まで必ず求める