二曲線間の面積

Area Between Curves

二つの曲線に挟まれた面積の考え方は、思ったより単純です。上にある曲線から下にある曲線を引き、その差を積分すれば、それがそのまま二曲線間の面積になります。だからまず二曲線が交わる交点を見つけて積分区間の両端とし、区間内でどちらが上かを確かめるだけです。下で右端bを動かして、y=xとy=x²の間の面積が1/6まで埋まっていく様子を確かめてみましょう。

上の曲線から下の曲線を引く

右端 b1

👀 目で見る

①二曲線間の面積は(上の曲線 − 下の曲線)の積分

②[0,1] では y=x が上、y=x² が下

③b を 1 まで伸ばすと間の面積は 1/6 で埋まる

面積の公式

二曲線間の面積

S = ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)

a, b は二曲線の交点の x 座標、f が上・g が下の曲線

まず交点を求める

積分区間 = 交点

f(x) = g(x)

二式を連立して出た x 値が積分の両端 a, b になる

直接求めてみる

例題 1

曲線 y=x と y=x² で囲まれた部分の面積を求めよ。

交点を求める — 二式を連立する。

x = x² ⇒ x = 0, 1

[0,1] では x が上なので (x − x²) を積分する。

S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²2 − x³3]₀¹ = 16

▸ 1/6

区間内で一点だけ代入し、どちらが上か確認すれば符号ミスを防げる。

例題 2

曲線 y=x² と直線 y=2x で囲まれた部分の面積を求めよ。

交点を求める。

x² = 2x ⇒ x = 0, 2

[0,2] では直線 2x が上なので (2x − x²) を積分する。

S = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³3]₀² = 43

▸ 4/3

曲線と直線の問題も(上 − 下)の原則は同じ。

まとめ

中心となる戦略

S = ∫_a^b (上 − 下) dx, a·b は交点

交点で区間を定め、上から下を引いて積分

2022 教育庁学力評価数学類題

曲線 y=x²−2x と x 軸で囲まれた部分の面積は?

①2/3

②1

③4/3

④2

⑤8/3

▸ ③ 4/3

x 軸(y=0)との交点を求める。

x² − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2

[0,2] では曲線が軸の下なので (0 − (x²−2x)) を積分する。

S = ∫₀² (2x − x²) dx = 43

🎯 試験ポイント

①面積 = ∫(上 − 下)dx

②積分区間は必ず交点

③曲線が軸の下なら (0 − 曲線) = −曲線を積分

④上下が途中で入れ替わるなら区間を分ける

⑤絶対値で一度に書きつつ符号は区間ごとに確認