seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III 二曲線間の面積 わかりやすく

Area Between Curves

2つの曲線の間にはさまれた面積を求める考え方は、思ったより単純です。 上にある曲線から下にある曲線を引いた差を積分すれば、それが2つの曲線の間の面積です。 だから、まず2つの曲線が交わる点を求めて積分区間の両端とし、その区間でどちらの曲線が上かだけを確かめればよいのです。 図で右端 b を動かすと、y = x と y = x² の間の面積が、b = 1 で1/6までふえていきます。

上の曲線から下の曲線を引く

1
👀 図から読みとること
①2つの曲線の間の面積は、（上の曲線 − 下の曲線）を積分した値である
②0 ≤ x ≤ 1 では y = x が上、y = x² が下にある
③b を1まで動かすと面積は 1/6 ≈ 0.1667 になる
④x > 1 では y = x² が上になり、上下が入れかわる

面積の公式

2曲線の間の面積
S = ∫ab (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)
a, b は2つの曲線が交わる点の x 座標で、f は上の曲線、g は下の曲線である

まず交点を求める

積分区間は交点
f(x) = g(x)
2つの式を等しいとおいて解いた x の値が、積分の両端 a, b になる

例題で確かめる

例題 1
曲線 y=x と y=x² で囲まれた部分の面積を求めよ。
1
2つの式を等しいとおいて交点を求める。
x = x2 ⇒ x = 0, 1
2
0 ≤ x ≤ 1 では y = x が上なので、x − x² を積分する。
S = ∫01 (x − x2) dx = [x22 − x33]01 = 16
▸ 1/6
x = 1/2 を代入すると x = 0.5 が x² = 0.25 より大きいので、y = x が上である。1点だけ代入してみれば、引く順番をまちがえない。
例題 2
曲線 y=x² と直線 y=2x で囲まれた部分の面積を求めよ。
1
2つの式を等しいとおいて交点を求める。
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
0 ≤ x ≤ 2 では直線 y = 2x が上なので、2x − x² を積分する。
S = ∫02 (2x − x2) dx = [x2 − x33]02 = 43
▸ 4/3
曲線と直線の間でも、上から下を引いて積分するという原則は同じである。

まとめ

解き方の方針
S = ∫ab (上 − 下) dx, a·b は交点
交点で区間を決め、上から下を引いて積分する
2022 教育庁 学力評価 数学 類題
曲線 y=x²−2x と x 軸で囲まれた部分の面積は？
①2/3
②1
③4/3
④2
⑤8/3
▸ ③ 4/3
1
x 軸（y = 0）との交点を求める。
x2 − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2
2
0 ≤ x ≤ 2 で曲線は x 軸より下にあるので、0 − (x² − 2x) を積分する。
S = ∫02 (2x − x2) dx = 43
🎯 試験ポイント
①面積は（上 − 下）を積分する
②積分区間の両端は交点でとる
③曲線が x 軸より下にあれば（0 − 曲線）を積分する
④途中で上下が入れかわれば、その点で区間を分ける
⑤絶対値でまとめて書いても、計算では区間ごとに符号を確かめる
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最終更新

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