導関数の活用

Applications of Derivatives

微分は、関数がどこで増え、どこで減り、どこで向きを変えるかを見つけるための道具です。傾きが 0 になる点が山頂（極大）や谷（極小）の候補になり、二階導関数の符号でその二つを見分けます。この考え方を使えば、面積や費用のように最も大きく、あるいは最も小さくしたい値を探す最適化問題も解けます。係数 a のスライダーを動かして極大と極小がどう移るか、幅を変えて長方形の面積がいつ最大になるかを確かめてみましょう。

関数の増減と極値

係数 a3

👀 見て理解

①金色は f(x)、青破線は f'(x)

②f'(x) > 0：f は増加

③f'(x) < 0：f は減少

④f'(x) = 0：赤点（極大・極小候補）

極値判定法

1階導関数判定法

f'(c) = 0 で f' の符号が + → −：極大、− → +：極小

f' の符号変化で極大／極小を判定

2階導関数判定法

f'(c) = 0 のとき f''(c) > 0 → 極小、f''(c) < 0 → 極大

f'' の符号（凸凹）で判定

🏔️ 山と谷

①極大 = 山頂：上に凸（f'' < 0）

②極小 = 谷：下に凸（f'' > 0）

③変曲点：凸凹が入れ替わる点（f'' = 0）

最適化問題

幅 x3

📐 最適化の手順

①目的関数：A(x) = x(10−x)

②微分：A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5

③2階判定：A''(5) = −2 < 0 → 極大

④最大値：A(5) = 25

接線と近似

接線の方程式

y − f(a) = f'(a)(x − a)

x = a での接線：傾き f'(a)、(a, f(a)) を通る

線形近似

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)

a 近傍で関数を接線で近似

💡 近似の威力

①√(4.01) ≈ √4 + (1/2√4)(0.01) = 2.0025

②接線は「その点近傍で最良の直線近似」

③これがやがてテイラー級数へ拡張

例題で確認

例題 1

関数 f(x) = x³ − 3x の極値を求めよ。

f′(x) = 0 となる点（極値の候補）を求める。

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1

2 次導関数 f″(x) = 6x の符号で判定する。

f''(−1) < 0 ⇒ 極大 2, f''(1) > 0 ⇒ 極小 −2

▸ 極大 2 (x = −1), 極小 −2 (x = 1)

f′ = 0 で候補を求め、f″ の符号で極大（−）・極小（+）を判定する。

例題 2

曲線 y = x³ − 2x 上の点 (1, −1) における接線の方程式を求めよ。

接線の傾き f′(1) を求める。

f'(x) = 3x² − 2, f'(1) = 1

接線の公式 y − f(a) = f'(a)(x − a) に代入する。

y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2

▸ y = x − 2

接線は傾き f′(a) と接点 (a, f(a)) があれば点傾き形ですぐ立てられる。

まとめ

導関数活用の核心

f' = 0 → 極値候補、f'' > 0 → 極小、f'' < 0 → 極大

1階で候補、2階で判定

共通テスト類題

0 ≤ x ≤ 3 における関数 f(x) = x³ − 3x² + 4 の最大値は？

①0

②2

③4

④6

⑤8

▸ ③ 4

f′(x) = 0 となる臨界点を求める。

f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2

閉区間の端点と臨界点での関数値を比較する。

f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ 最大値 4

🎯 試験ポイント

①増減表：f' の符号変化を区間ごとに整理

②極値判定：1階 or 2階を選択

③最適化：目的関数 → 微分 → 臨界点 → 判定

④接線：y − f(a) = f'(a)(x − a)

⑤変曲点：f'' = 0 かつ符号が変わる点