微積分›導関数の活用

導関数の活用

Applications of Derivatives

関数の増減と極値
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👀 見て理解
①金色は f(x)、青破線は f'(x)
②f'(x) > 0：f は増加
③f'(x) < 0：f は減少
④f'(x) = 0：赤点（極大・極小候補）
極値判定法
1階導関数判定法
f'(c) = 0 で f' の符号が + → −：極大、− → +：極小
f' の符号変化で極大／極小を判定
2階導関数判定法
f'(c) = 0 のとき f''(c) > 0 → 極小、f''(c) < 0 → 極大
f'' の符号（凸凹）で判定
🏔️ 山と谷
①極大 = 山頂：上に凸（f'' < 0）
②極小 = 谷：下に凸（f'' > 0）
③変曲点：凸凹が入れ替わる点（f'' = 0）
最適化問題
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📐 最適化の手順
①目的関数：A(x) = x(10−x)
②微分：A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5
③2階判定：A''(5) = −2 < 0 → 極大
④最大値：A(5) = 25
接線と近似
接線の方程式
y − f(a) = f'(a)(x − a)
x = a での接線：傾き f'(a)、(a, f(a)) を通る
線形近似
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)
a 近傍で関数を接線で近似
💡 近似の威力
①√(4.01) ≈ √4 + (1/2√4)(0.01) = 2.0025
②接線は「その点近傍で最良の直線近似」
③これがやがてテイラー級数へ拡張
まとめ
導関数活用の核心
f' = 0 → 極値候補、f'' > 0 → 極小、f'' < 0 → 極大
1階で候補、2階で判定
🎯 試験ポイント
①増減表：f' の符号変化を区間ごとに整理
②極値判定：1階 or 2階を選択
③最適化：目的関数 → 微分 → 臨界点 → 判定
④接線：y − f(a) = f'(a)(x − a)
⑤変曲点：f'' = 0 かつ符号が変わる点