数III 導関数の活用わかりやすく

Applications of Derivatives

微分は、関数がどこで増え、どこで減り、どこで向きを変えるかを見つけるための道具です。傾きが 0 になる点が山頂（極大）や谷（極小）の候補になり、二階導関数の符号でその二つを見分けます。この考え方を使えば、面積や費用のように最も大きく、あるいは最も小さくしたい値を探す最適化問題も解けます。係数 a のスライダーを動かすと極大と極小が移り、幅を変えると長方形の面積が最大になるときが見えます。

関数の増減と極値

係数 a3

👀 見て理解

①金色は f(x)、青破線は f'(x)

②f'(x) > 0：f は増加

③f'(x) < 0：f は減少

④f'(x) = 0：赤点（極大・極小候補）

極値判定法

1階導関数判定法

f'(c) = 0 で f' の符号が + → −：極大、− → +：極小

f' の符号変化で極大／極小を判定

2階導関数判定法

f'(c) = 0 のとき f''(c) > 0 → 極小、f''(c) < 0 → 極大

f'' の符号（凸凹）で判定

🏔️ 山と谷

①極大 = 山頂：上に凸（f'' < 0）

②極小 = 谷：下に凸（f'' > 0）

③f'' = 0 は変曲の必要条件にすぎない。符号変化は次のページ

最適化問題

幅 x3

📐 最適化の手順

①目的関数：A(x) = x(10−x)

②微分：A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5

③2階判定：A''(5) = −2 < 0 → 極大

④最大値：A(5) = 25

接線と近似

接線の方程式

y − f(a) = f'(a)(x − a)

x = a での接線：傾き f'(a)、(a, f(a)) を通る

線形近似

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)

a 近傍で関数を接線で近似

💡 近似の威力

①√(4.01) ≈ √4 + (1/2√4)(0.01) = 2.0025

②接線は「その点近傍で最良の直線近似」

③これがやがてテイラー級数へ拡張

④線形近似は文。図はない

例題で確認

例題 1

関数 f(x) = x³ − 3x の極値を求めよ。

f′(x) = 0 となる点（極値の候補）を求める。

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1

2 次導関数 f″(x) = 6x の符号で判定する。

f''(−1) < 0 ⇒ 極大 2, f''(1) > 0 ⇒ 極小 −2

▸ 極大 2 (x = −1), 極小 −2 (x = 1)

f′ = 0 で候補を求め、f″ の符号で極大（−）・極小（+）を判定する。

例題 2

曲線 y = x³ − 2x 上の点 (1, −1) における接線の方程式を求めよ。

接線の傾き f′(1) を求める。

f'(x) = 3x² − 2, f'(1) = 1

接線の公式 y − f(a) = f'(a)(x − a) に代入する。

y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2

▸ y = x − 2

接線は傾き f′(a) と接点 (a, f(a)) があれば点傾き形ですぐ立てられる。

まとめ

導関数活用の核心

f' = 0 → 極値候補、f'' > 0 → 極小、f'' < 0 → 極大

1階で候補、2階で判定

共通テスト類題

0 ≤ x ≤ 3 における関数 f(x) = x³ − 3x² + 4 の最大値は？

①0

②2

③4

④6

⑤8

▸ ③ 4

f′(x) = 0 となる臨界点を求める。

f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2

閉区間の端点と臨界点での関数値を比較する。

f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ 最大値 4

🎯 試験ポイント

①増減表：f' の符号変化を区間ごとに整理

②極値判定：1階 or 2階を選択

③最適化：目的関数 → 微分 → 臨界点 → 判定

④接線：y − f(a) = f'(a)(x − a)

⑤変曲点：f'' = 0 かつ符号が変わる点

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