seegongsik
高校3年生 (17-18歳)

数III 導関数の活用 わかりやすく

Applications of Derivatives

導関数を見ると、関数がどこで増え、どこで減り、どこで向きを変えるかがわかります。 傾きが0になるところが山の頂上である極大や谷の底である極小の候補で、第2次導関数の符号で2つを見分けます。 この考え方を使えば、面積や費用のようにいちばん大きく、またはいちばん小さくしたい値を求める最適化の問題も解けます。 1つ目の図で a を変えると極大と極小が動き、2つ目の図で横の長さを変えると、周の長さが20の長方形の面積は横が5の正方形のとき最大になります。

関数の増減と極値

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👀 図から読みとること
①金色の曲線が f(x)、青い点線が f'(x) である
②f'(x) > 0 の区間で f は増加し、f'(x) < 0 の区間で減少する
③f'(x) = 0 となる x = ±√(a/3) に赤い点（極大・極小）がある
④a = 0 なら f' ≥ 0 なので極値はない

極値の判定

導関数の符号による判定
f'(c) = 0 で f' の符号が + → −：極大、− → +：極小
f' の符号の変わり方で、極大と極小を見分ける
第2次導関数による判定
f'(c) = 0 のとき f''(c) > 0 → 極小、f''(c) < 0 → 極大
f''(c) の符号で曲線がどちらに凸かを見て、極値を決める
🏔️ 山と谷
①極大は山の頂上で、そのまわりで曲線は上に凸である（f'' < 0）
②極小は谷の底で、曲線は下に凸である（f'' > 0）
③f''(c) = 0 のときはこの方法では判定できないので、f' の符号を別に調べる

最適化の問題

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📐 最適化の手順
①求めたい量を関数で表す：縦は 10 − x なので A(x) = x(10 − x)
②微分して0になる点を探す：A'(x) = 10 − 2x = 0 から x = 5
③判定する：A''(5) = −2 < 0 なので極大
④最大値は A(5) = 25 で、このとき長方形は正方形である

接線と近似値

接線の方程式
y − f(a) = f'(a)(x − a)
x = a での接線は傾きが f'(a) で、点 (a, f(a)) を通る
1次近似
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)
a の近くでは、関数を接線でおきかえて見積もれる
💡 接線で見積もる
①√4.01 を √4 での接線で見積もると、2 + (1/4) × 0.01 = 2.0025 である
②接線は、その点のまわりで関数にいちばん近い直線である
③さらに進むと、2次や3次の項まで使う近似につながる

例題で身につける

例題 1
関数 f(x) = x3 − 3x の極値を求めよ。
1
f'(x) = 0 となる点を求め、極値の候補とする。
f'(x) = 3x2 − 3 = 0 ⇒ x = ±1
2
第2次導関数 f''(x) = 6x の符号で判定する。
f''(−1) < 0 ⇒ 極大 2, f''(1) > 0 ⇒ 極小 −2
▸ 極大 2 (x = −1), 極小 −2 (x = 1)
f''(−1) = −6 < 0 なので x = −1 は山、f''(1) = 6 > 0 なので x = 1 は谷である。1つ目の図で a = 3 にすると、この曲線になる。
例題 2
曲線 y = x3 − 2x 上の点 (1, −1) における接線の方程式を求めよ。
1
接線の傾き f'(1) を求める。
f'(x) = 3x2 − 2, f'(1) = 1
2
接線の方程式 y − f(a) = f'(a)(x − a) に代入する。
y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2
▸ y = x − 2
接線は、傾き f'(a) と接点 (a, f(a)) がわかればすぐに立てられる。

まとめ

導関数活用の核心
f' = 0 → 極値候補、f'' > 0 → 極小、f'' < 0 → 極大
導関数で候補を見つけ、第2次導関数や符号の変化で判定する
韓国修能 類題
0 ≤ x ≤ 3 における関数 f(x) = x3 − 3x2 + 4 の最大値は？
①0
②2
③4
④6
⑤8
▸ ③ 4
1
f'(x) = 0 となる点を求める。
f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2
2
閉区間の両端と極値の候補での関数の値を比べる。
f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ 最大値 4
🎯 試験ポイント
①増減表：区間ごとに f' の符号をまとめる
②極値は f' の符号の変化か f'' の符号で判定する
③最適化：求める量を関数に → 微分 → 0になる点 → 判定
④接線の方程式は y − f(a) = f'(a)(x − a)
⑤変曲点は f'' = 0 で、f'' の符号が変わる点である
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