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EM-02 · Caja de electrostáticaEquipar herramienta

Campos escalares y campos vectoriales

Un campo es una función que asigna un valor a cada punto del espacio. Aprendes a distinguirlos: si cada punto lleva un número, es un campo escalar; si cada punto lleva una flecha con magnitud y dirección, es un campo vectorial.

¿Qué asignamos a los mismos puntos del espacio?

Arrastra para recorrer con la vista los puntos espaciados de forma regular y cambia de pestaña: el tipo de campo depende de qué se asigna a esos mismos puntos. Empieza con puntos vacíos, pasa a brillos dorados cuya intensidad muestra un número y termina en flechas.

Arrastra para girar; toca una pestaña para cambiar la representación.
Lo que lleva un punto
Un punto = solo ubicación, 0 valores
Cada punto solo tiene posición; todavía no lleva ninguna magnitud.
Sin valor

Campo escalar: un número por punto

Un campo escalar asigna a cada punto del espacio un número. La temperatura de una habitación T(x, y, z), la altitud de una montaña h(x, y) y el potencial V alrededor de una carga son campos escalares. Un valor con magnitud pero sin dirección no cambia en un punto por mucho que se giren los ejes de coordenadas.

ObservaT : ℝ³ → ℝ
Un campo escalar asigna un número real a un punto.

Campo vectorial: una flecha por punto

Un campo vectorial asigna a cada punto una flecha. Una flecha lleva magnitud y dirección a la vez. La velocidad v del aire que fluye y el campo eléctrico E que crea una carga son ejemplos. La flecha en un punto puede escribirse con tres componentes a lo largo de los ejes, (E_x, E_y, E_z). Sin embargo, las componentes son números que dependen de los ejes elegidos, así que cambian al girarlos, mientras que la flecha misma no cambia.

EligeE : ℝ³ → ?
Un campo vectorial asigna a un punto un grupo de tres números reales.
CompletaE = Ex x̂ + Ey ? + Ez ẑ
Las tres componentes van sobre los vectores unitarios de los ejes, una en cada uno.

Reensamblar en magnitud y dirección

La longitud de la flecha es su magnitud, y se obtiene elevando al cuadrado las tres componentes, sumándolas y sacando la raíz cuadrada. La dirección se separa como un vector unitario, la misma flecha reducida a longitud 1. Aunque tenga tres componentes, la flecha sigue siendo una por punto, una sola pieza con dirección.

Por tu cuenta|E| = ?
La magnitud es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes.

¿Escalar o vectorial?

La temperatura, la masa, el potencial y la diferencia de potencial son escalares; la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico y el campo magnético son vectores. Una prueba sencilla es preguntarle a la magnitud hacia dónde apunta. Si la pregunta tiene sentido, es un vector; si no, un escalar. Una prueba más segura es ver si se suma como las flechas. La corriente en un cable tiene un sentido de flujo, pero en una bifurcación las corrientes simplemente se suman, así que es un escalar; el vector correspondiente es la densidad de corriente, la corriente por unidad de área. El campo eléctrico no queda dicho del todo hasta dar su dirección (EM-03), y el potencial es un solo valor sin dirección (EM-08).

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, los puntos vacíos se llenaron primero con números y luego con flechas. Llenos de números forman un campo escalar; llenos de flechas, un campo vectorial. Los dos leen el mismo espacio como magnitudes distintas. Una flecha apunta al mismo lugar por mucho que se giren los ejes de coordenadas, así que, aunque un campo vectorial se escriba con tres componentes, en el fondo sigue siendo una sola pieza con dirección.

Un campo es una función que asigna un valor a cada punto del espacio. Si el valor es un número, es un campo escalar T(x, y, z); si tiene magnitud y dirección, es un campo vectorial E = Ex x̂ + Ey ŷ + Ez ẑ. Un campo escalar guarda 1 componente por punto; uno vectorial, 3.
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La notación de los campos escalares y vectoriales es el vocabulario de toda teoría de campos. Con esta notación equipada se abren las unidades siguientes. El campo eléctrico E (EM-03) se lee directamente como campo vectorial y el potencial V (EM-08) como campo escalar, y el flujo y la divergencia (EM-05) y la ley de Gauss (EM-06) se definen todos sobre este campo vectorial.