La ecuación de onda y la onda plana
Mira viajar la onda plana
Es una vista lateral de una onda electromagnética que viaja por el espacio vacío. La línea celeste es el campo eléctrico, que oscila hacia arriba y hacia abajo, y la línea dorada es el campo magnético, que oscila hacia delante y hacia atrás; los dos son perpendiculares y, al mismo compás, llegan juntos al máximo y pasan juntos por 0. Si alargas o acortas la longitud de onda con el control, la frecuencia cambia en la misma medida, de modo que su producto no cambia y la onda sigue avanzando a la misma rapidez. Por qué los dos campos se mueven en la misma fase es la pregunta de esta lección.
Los dos rotacionales en el vacío
En el espacio vacío, sin cargas ni corrientes, es decir, donde ρ = 0 y J = 0, de las ecuaciones de Maxwell solo quedan las dos de rotacional: la ley de Faraday ∇×E = -∂B/∂t y la ley de Ampère–Maxwell ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t. Un campo eléctrico que cambia crea un campo magnético, y ese campo, al cambiar, vuelve a crear un campo eléctrico, de modo que los dos campos se mantienen uno a otro. Al resolver este engranaje se comprueba si los campos pueden seguir por sí solos donde no hay fuentes y, si es así, con qué forma se propagan.
Surge la ecuación de onda
Si se toma otra vez el rotacional de una de las ecuaciones de rotacional y se sustituye la otra, se obtiene una ecuación solo para el campo eléctrico: ∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t². El campo magnético sigue exactamente la misma forma, y esta es la ecuación de onda. Dice que lo curvado que está el campo en el espacio es proporcional a su aceleración en el tiempo: es la ecuación de una onda cuya ondulación no se queda en su sitio, sino que se desplaza conservando su forma. Una vibración que recorre una cuerda tensa y el sonido en el aire siguen ecuaciones de la misma forma; solo cambian qué es lo que oscila y a qué rapidez.
La velocidad es la de la luz
En la ecuación de onda ∂²/∂x² = (1/v²)∂²/∂t², v es la rapidez de la onda. Al compararla con la ecuación de las ondas electromagnéticas se obtiene 1/v² = μ₀ε₀, es decir, v = 1/√(μ₀ε₀). Con los valores medidos de las dos constantes sale unos 3×10⁸ m/s. Cuando Maxwell calculó este valor con las mediciones eléctricas de su época, coincidió, dentro del error de medida, con la rapidez de la luz medida por separado. La rapidez de la luz había salido de ecuaciones construidas solo con electricidad y magnetismo, y de ahí se llegó a la conclusión de que la luz es una onda electromagnética. En el vacío esta rapidez es la misma para toda longitud de onda, pero en el vidrio o el agua cambia un poco con la longitud de onda, y por eso un prisma separa la luz blanca en colores.
La onda plana — transversal y en fase
La solución más sencilla de la ecuación de onda es la onda plana E = E₀ cos(kx - ωt), una sinusoide que avanza en una dirección. El campo magnético tiene la misma forma, con magnitud B = E/c. De aquí se leen tres cosas. Primero, E y B oscilan perpendiculares a la dirección de avance: es una onda transversal. Segundo, E y B son perpendiculares entre sí. Tercero, los dos están en la misma fase, llegan juntos al máximo y pasan juntos por 0, porque la ecuación de Faraday une la pendiente espacial de uno con el cambio temporal del otro. E × B apunta siempre en la dirección de avance. La figura dibuja los dos campos con la misma longitud, pero en unidades SI B es E dividido entre c, así que como número es mucho menor; aun así, los dos campos transportan exactamente la mitad de la energía cada uno.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla, el campo eléctrico (arriba y abajo) y el magnético (adelante y atrás) oscilaban perpendiculares entre sí y al mismo compás. Por mucho que alargaras o acortaras la longitud de onda, la onda avanzaba siempre a la misma rapidez, y eso es lo que dice la ecuación de onda. Las dos ecuaciones de rotacional se engranan en ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t², y en el vacío su rapidez es c = 1/√(μ₀ε₀), sea cual sea la longitud de onda. E y B comparten fase porque la ecuación de Faraday une la pendiente espacial de uno con el cambio temporal del otro. La luz que ilumina ahora esta pantalla es justamente esta onda.
En esta onda plana, E × B no solo apunta en la dirección de avance, sino que es también la dirección en que fluye la energía. La próxima lección (EM-24) estudia el vector de Poynting S = E × B / μ₀, que mide ese flujo de energía, y la polarización, fijada por la dirección en que oscila el campo eléctrico. Así se entra en qué transporta la luz y cómo vibra.