La ecuación de onda y la onda plana
Mira viajar la onda plana
Una onda electromagnética que recorre el espacio vacío. El campo eléctrico que oscila en vertical (cian) y el magnético que oscila en horizontal (dorado) son perpendiculares, y alcanzan el máximo juntos y se anulan juntos, al mismo compás. Cambia la longitud de onda y la onda sigue avanzando a la misma velocidad c. Mira por qué los dos campos están en fase.
Los dos rotacionales en el vacío
Consideremos el espacio vacío sin carga ni corriente: ρ = 0, J = 0. Entonces solo quedan las dos ecuaciones del rotacional de Maxwell: Faraday ∇×E = -∂B/∂t y Ampère–Maxwell ∇×B = μ₀ε₀∂E/∂t. Un campo eléctrico variable crea uno magnético, y ese campo magnético variable crea de nuevo uno eléctrico. Los dos se alimentan mutuamente. ¿Qué sale al resolver este engranaje?
Surge la ecuación de onda
Toma el rotacional de una ecuación del rotacional y sustituye la otra, y obtienes una ecuación que el campo eléctrico satisface por sí solo: ∇²E = μ₀ε₀ ∂²E/∂t². El campo magnético obedece la misma forma. Esta es la ecuación de onda. Dice que cuánto se curva un campo en el espacio es proporcional a cuán rápido cambia en el tiempo — la forma misma que sigue toda onda cuando una perturbación no se queda quieta sino que se extiende. Las ondas del agua y el sonido también la obedecen.
La velocidad es la de la luz
En toda ecuación de onda ∂²/∂x² = (1/v²)∂²/∂t², la v es la velocidad de esa onda. Al cotejarla con la ecuación electromagnética resulta 1/v² = μ₀ε₀, es decir v = 1/√(μ₀ε₀). Introduce los valores medidos de las dos constantes y sale unos 3×10⁸ m/s. Cuando Maxwell lo calculó, era exactamente la ya conocida velocidad de la luz. La velocidad de la luz había saltado de ecuaciones construidas solo con electricidad y magnetismo. La luz era una onda electromagnética.
La onda plana — transversal y en fase
La solución más simple de la ecuación de onda es la onda plana: E = E₀ cos(kx - ωt), una sinusoide que avanza en una dirección. El campo magnético tiene la misma forma, con magnitud B = E/c. Tres cosas importan. Primera, E y B son transversales — perpendiculares a la dirección de avance. Segunda, E y B son perpendiculares entre sí. Tercera, los dos están en fase, alcanzando el máximo juntos y anulándose juntos, porque la ecuación de Faraday ata la pendiente espacial de uno al cambio temporal del otro. E × B siempre apunta en la dirección de avance.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla el campo eléctrico (vertical) y el magnético (horizontal) oscilaban perpendiculares entre sí, y al mismo compás. Estira o encoge la longitud de onda y la onda siempre avanzaba a la misma velocidad. Esto es lo que dice la ecuación de onda. Las dos ecuaciones del rotacional engranan en ∇²E = μ₀ε₀∂²E/∂t², y su velocidad, independiente de la longitud de onda, es c = 1/√(μ₀ε₀). E y B están en fase porque la ecuación de Faraday ata la pendiente espacial de uno al cambio temporal del otro. Esa luz está entrando en tus ojos ahora mismo.
En esta onda plana, E × B no solo apunta en la dirección de avance sino que es también el flujo de energía. Lo siguiente (EM-24) mira el vector de Poynting S = E × B / μ₀ que mide ese flujo, y la polarización, fijada por la dirección en que oscila el campo eléctrico. Entramos en qué transporta la luz y cómo vibra.