Las ecuaciones de Maxwell

Mira las cuatro ecuaciones una a una

Elige las cuatro ecuaciones una a una con los botones. Dos usan la divergencia (∇·) para dibujar de dónde brota un campo; dos usan el rotacional (∇×) para dibujar el remolino de un campo. Mira cómo las cuatro tejen la electricidad y el magnetismo en uno.

Las cuatro ecuaciones en un lugar

Todo lo que hemos construido por separado para la electricidad y el magnetismo se reúne en cuatro ecuaciones. La ley de Gauss (∇·E = ρ/ε₀, EM-06) dice que el campo eléctrico brota de la carga; la ley de Gauss para el magnetismo (∇·B = 0) dice que el campo magnético no tiene fuente. La ley de Faraday (∇×E = -∂B/∂t, EM-20) dice que un campo magnético variable crea uno eléctrico, y la ley de Ampère completada por la corriente de desplazamiento (∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t, EM-21) dice que la corriente y un campo eléctrico variable crean uno magnético. Nada aquí es nuevo — solo reúne en un lugar las cuatro que ya aprendiste.

Dos divergencias y dos rotacionales

Las cuatro se dividen en dos clases. Las dos divergencias dicen de dónde brota un campo; los dos rotacionales dicen cómo gira un campo. Por divergencia, el campo eléctrico tiene una fuente — la carga (∇·E = ρ/ε₀) — pero el magnético no (∇·B = 0), porque nunca se ha hallado un monopolo magnético. Así, las líneas magnéticas, sin principio ni fin, forman siempre lazos cerrados. Los dos rotacionales son el par que ata los campos eléctrico y magnético a través del tiempo: cuando uno cambia, el otro remolinea.

La simetría y su ruptura

En las cuatro, los campos eléctrico y magnético se enfrentan casi como un espejo. Un campo magnético variable crea uno eléctrico (Faraday); un campo eléctrico variable crea uno magnético (Ampère–Maxwell). Pero la simetría no es perfecta. Las cargas existen mientras los monopolos magnéticos no, y los signos de las dos ecuaciones del rotacional difieren — menos para Faraday, más para Ampère–Maxwell. Es exactamente esta asimetría la que hace que los dos campos se sostengan en vez de cancelarse. Si los signos fueran iguales y la simetría perfecta, los dos se borrarían entre sí.

La onda oculta en las ecuaciones

Considera el espacio vacío sin carga ni corriente (ρ = 0, J = 0). Un campo eléctrico variable crea uno magnético, y ese campo magnético variable crea de nuevo uno eléctrico. Engrana las dos ecuaciones del rotacional y se vuelven una ecuación de onda en la que los campos eléctrico y magnético se sostienen mientras se propagan. Su velocidad es c = 1/√(μ₀ε₀), surgida solo de esas dos constantes. Cuando Maxwell calculó este valor coincidió con la velocidad medida de la luz: la luz es una onda electromagnética. La siguiente unidad extrae esta onda directamente.

De vuelta a la primera pantalla

Las cuatro ecuaciones que recorriste con los botones en la primera pantalla no eran leyes separadas. Las dos divergencias dibujaron de dónde brotan los campos eléctrico y magnético — la carga existe, el monopolo no — y los dos rotacionales dibujaron el lazo que los ata a través del tiempo. Un campo variable engendra al otro, y ese campo engendra de nuevo al primero. Como las cuatro forman un sistema cerrado, una sola perturbación pequeña se regenera y recorre el espacio. Eso es la luz.

Lo siguiente (EM-23) engrana las dos ecuaciones del rotacional en el espacio vacío para extraer la ecuación de onda directamente. Verás una onda plana en la que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y a la dirección de avance, corriendo a velocidad c = 1/√(μ₀ε₀). La luz que las ecuaciones de Maxwell guardaban se hace visible.