Las ecuaciones de Maxwell

Mira las cuatro ecuaciones una a una

Cada uno de los cuatro botones muestra en una figura una de las ecuaciones de Maxwell. Dos de ellas muestran con la divergencia (∇·) dónde brota un campo, y las otras dos muestran con el rotacional (∇×) cómo circula. Vale la pena comparar las flechas celestes que salen de la carga puntual roja con los anillos dorados alrededor del imán de barra, que siempre se cierran sobre sí mismos. El indicador muestra juntas la forma integral y la forma diferencial de la ecuación elegida. Cómo las cuatro ecuaciones unen la electricidad y el magnetismo en una sola cosa es la pregunta de esta lección.

Las cuatro ecuaciones en un lugar

Todo lo construido por separado para la electricidad y el magnetismo se reúne en cuatro ecuaciones. La ley de Gauss (∇·E = ρ/ε₀, EM-06) dice que el campo eléctrico brota de las cargas, y la ley de Gauss para el magnetismo (∇·B = 0) dice que el campo magnético no tiene fuentes. La ley de Faraday (∇×E = -∂B/∂t, EM-20) dice que un campo magnético que cambia crea un campo eléctrico, y la ley de Ampère completada con la corriente de desplazamiento (∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t, EM-21) dice que las corrientes y los campos eléctricos que cambian crean un campo magnético. No se añade ninguna ley nueva; solo se reúnen las cuatro ya estudiadas. Eso sí, la forma de cuatro líneas que se usa hoy no es tal cual la que escribió Maxwell: Heaviside reunió más tarde en notación vectorial sus veintitantas ecuaciones escritas componente a componente. Si se añade la fuerza de Lorentz que siente una carga en estos campos, se tiene todo el electromagnetismo clásico.

Dos divergencias y dos rotacionales

Las cuatro ecuaciones se dividen en dos clases. Las dos divergencias dicen de dónde brotan los campos, y los dos rotacionales dicen cómo circulan. Por las divergencias, el campo eléctrico tiene una fuente en la carga (∇·E = ρ/ε₀), pero el campo magnético no la tiene (∇·B = 0). Es porque nunca se ha encontrado un monopolo magnético, así que las líneas de campo magnético forman siempre lazos cerrados, sin principio ni fin. Es el mismo hecho por el que cada trozo de un imán de barra, por finamente que se corte, sale con un polo norte y un polo sur. Los dos rotacionales emparejan los campos eléctrico y magnético a través del tiempo: cuando uno cambia, el otro circula a su alrededor.

La simetría y su ruptura

En las cuatro ecuaciones, los campos eléctrico y magnético se miran casi como imágenes en un espejo. Un campo magnético que cambia crea un campo eléctrico (Faraday), y un campo eléctrico que cambia crea un campo magnético (Ampère–Maxwell). Pero la simetría no es perfecta: hay cargas, pero no monopolos magnéticos, y las dos ecuaciones de rotacional difieren en el signo, negativo en la de Faraday y positivo en la de Ampère–Maxwell. Gracias a esta diferencia de signo, al combinar las dos ecuaciones de rotacional sale la ecuación de una onda en la que los dos campos se relevan uno a otro; con el mismo signo no habría oscilación, solo soluciones que crecen o se apagan en un solo sentido. Además, en el espacio sin cargas, si se intercambian los campos eléctrico y magnético (ajustando las unidades) y se pone un signo menos a uno de ellos, las cuatro ecuaciones siguen valiendo, y ese intercambio funciona precisamente porque los signos difieren. Si se toma la divergencia de la ecuación de Ampère–Maxwell y se combina con la ley de Gauss, sale por sí sola la conservación de la carga, es decir, que la carga no se crea ni se destruye: otra señal de que las cuatro ecuaciones encajan entre sí.

La onda oculta en las ecuaciones

En el espacio vacío, sin cargas ni corrientes (ρ = 0, J = 0), un campo eléctrico que cambia crea un campo magnético, y ese campo, al cambiar, vuelve a crear un campo eléctrico. Al engranar las dos ecuaciones de rotacional se obtiene una ecuación de onda en la que los dos campos se sostienen uno a otro mientras se propagan, y su rapidez, c = 1/√(μ₀ε₀), queda fijada solo por las dos constantes. Cuando Maxwell calculó este valor, coincidió con la rapidez de la luz medida entonces, y de ahí salió la conclusión de que la luz es una onda electromagnética. La confirmación experimental llegó después de la muerte de Maxwell, cuando Hertz produjo y detectó ondas de radio con un explosor de chispa. La próxima lección saca esta onda directamente de las ecuaciones.

De vuelta a la primera pantalla

Las ecuaciones que viste con los cuatro botones en la primera pantalla no eran leyes sueltas. Las dos divergencias mostraban de dónde brotan los campos eléctrico y magnético (hay cargas, pero no monopolos), y los dos rotacionales dibujaban el ciclo que une los dos campos a través del tiempo. Un campo que cambia genera el otro, y este vuelve a generar el primero, así que las cuatro ecuaciones forman un único sistema cerrado. Por eso una pequeña perturbación en un punto puede mantenerse a sí misma y recorrer el espacio, y eso es la luz.

La próxima lección (EM-23) engrana las dos ecuaciones de rotacional en el espacio vacío y saca directamente la ecuación de onda. Verás una onda plana, con los campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de avance, que corre a la rapidez c = 1/√(μ₀ε₀): la luz que guardaban las ecuaciones de Maxwell sale a la vista.