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EM-09 · Caja de electrostáticaEquipar herramienta

El gradiente

El gradiente extrae de un campo escalar la dirección de subida más empinada y su pendiente como un solo vector. Al girar una dirección de prueba ves que la subida es más empinada cuando se alinea con el gradiente, y compruebas que el campo eléctrico apunta en sentido contrario (E = -∇V).

Encuentra la subida más empinada

El plano inclinado es un relieve cuya altura representa el potencial, y las líneas celestes brillantes son líneas equipotenciales de igual potencial. Al girar la flecha de prueba con el deslizador, el indicador muestra la pendiente de subida en esa dirección como porcentaje del máximo. Es más empinada al alinearla con la flecha dorada, y la pendiente desaparece al seguir una línea equipotencial.

Dirección de prueba αα = 110°
Arrastra para girar; el deslizador cambia la dirección de prueba α.
La subida en esta dirección
∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)
E = −∇V · el campo es el gradiente volteado cuesta abajo
Tasa en esta dirección (frente al máximo) · 22%
Por la curva de nivel · subida 0

El gradiente, el ascenso más pronunciado

Un campo escalar da a cada punto un número (EM-02·EM-08). El gradiente ∇V apunta en la dirección en que ese número crece más rápido, y la longitud de la flecha es la pendiente en esa dirección. Representa con una sola flecha la subida más empinada de una colina, así que de un campo escalar sale un campo vectorial.

Observa∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)
El gradiente es el vector que reúne las tasas de cambio a lo largo de cada eje.

La derivada direccional, por producto escalar

La tasa a la que cambia el potencial al moverse en una dirección û se llama derivada direccional. Su valor es el producto escalar del gradiente y el vector unitario de esa dirección, ∇V·û, el mismo principio que el producto escalar de EM-05. Cuando û se alinea con ∇V, el cos del ángulo entre ellos es 1, así que es máxima; en ángulo recto es 0. Ir justo en sentido contrario da la bajada más empinada. Por eso, a lo largo de una línea equipotencial la tasa de cambio es 0, de frente al gradiente es máxima, y el tamaño de esa tasa máxima es justamente |∇V|.

EligedV/ds = ∇V · ?
La tasa de cambio en una dirección es el producto escalar del gradiente y el vector unitario de esa dirección.
Completa(dV/ds)max = ?
La tasa de cambio es máxima a lo largo del gradiente, y su tamaño es |∇V|.

Perpendicular a las equipotenciales

La dirección con tasa de cambio 0 es la línea equipotencial, así que el gradiente es siempre perpendicular a la superficie equipotencial (tal como se vio en EM-08). Es como las curvas de nivel de un relieve, que cortan en ángulo recto la subida más empinada. Así, un solo gradiente reúne una dirección, la normal a la superficie equipotencial, y un tamaño, la pendiente.

E = -∇V, de escalar a vector

El campo eléctrico apunta hacia donde el potencial baja más rápido, así que es justo lo contrario del gradiente. E = -∇V. El signo menos convierte la subida en bajada. Esta línea saca de un campo escalar, el potencial, todo un campo vectorial, el campo eléctrico. Con solo conocer el potencial obtienes las tres componentes del campo eléctrico derivando, y al revés, integrar el campo eléctrico a lo largo de un camino te devuelve al potencial.

Por tu cuentaE = ?
El campo eléctrico apunta en sentido contrario al gradiente del potencial.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, al girar la flecha de prueba la pendiente de subida cambiaba con la dirección. Era 0 a lo largo de una línea equipotencial y máxima al alinearse con el gradiente. Lo que reúne esa dirección máxima y su tamaño es el gradiente ∇V, y la derivada direccional ∇V·û lo expresa con un solo coseno. El campo eléctrico es este gradiente invertido cuesta abajo, E = -∇V, y por eso siempre era perpendicular a las superficies equipotenciales.

El gradiente ∇V extrae de un campo escalar V la dirección de subida más empinada y el tamaño de esa pendiente como un solo vector. Sus componentes son las derivadas parciales a lo largo de cada eje, (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z). La tasa de cambio en una dirección û es el producto escalar ∇V·û, máxima (=|∇V|) cuando û se alinea con ∇V. El gradiente es perpendicular a las superficies equipotenciales, y el campo eléctrico es su opuesto, E = -∇V.
Equipar herramientaAl equipar esta herramienta

El gradiente es una herramienta que extrae un campo vectorial de un campo escalar. Con ella equipada obtienes directamente el campo eléctrico E = -∇V a partir del potencial (recuperando EM-08), y en cualquier problema con potencial hallas el campo derivando. Junto con la divergencia ∇·(EM-07) y el rotacional ∇×(EM-16), forma los tres usos del operador nabla ∇ y sostiene la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell.