EM-09 · Caja de electrostáticaEquipar herramienta

El gradiente

El gradiente extrae de un campo escalar la dirección de máximo ascenso y su inclinación como un vector. Gira una dirección de prueba para ver que la subida es más pronunciada al alinearse con el gradiente, y que el campo apunta al revés (E = -∇V).

Encuentra la subida más pronunciada

Sobre el terreno inclinado del potencial, gira la flecha de prueba. ¿En qué dirección es más pronunciada la subida? ¿Y cuál es la pendiente si sigues una curva de nivel (una línea equipotencial)?

Dirección de prueba αα = 110°

Arrastra para orbitar. El control gira la dirección de prueba α.

La subida en esta dirección

∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

E = −∇V · el campo es el gradiente volteado cuesta abajo

Tasa en esta dirección (frente al máximo) · 22%

Por la curva · sin subida

El gradiente, el ascenso más pronunciado

Un campo escalar da un número en cada punto (EM-02, EM-08). El gradiente ∇V apunta en la dirección en que ese número crece más rápido, y la longitud de la flecha es la inclinación en esa dirección. En un terreno con colinas es la única flecha que señala el camino más empinado hacia arriba. Un campo escalar da a luz un campo vectorial.

Observa∇V = (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z)

El gradiente reúne la tasa de cambio a lo largo de cada eje.

La derivada direccional, por producto escalar

La tasa a la que cambia el potencial al moverse en una dirección û es la derivada direccional. Su valor es el producto escalar del gradiente con esa dirección, ∇V·û (el mismo producto escalar de EM-05). Cuando û se alinea con ∇V el coseno es 1, así que es máxima; en ángulo recto es cero. Por eso seguir una curva de nivel da cambio cero, e ir recto por el gradiente da el máximo. El tamaño de ese máximo es justamente |∇V|.

EligedV/ds = ∇V · ?

La tasa en una dirección es el gradiente por el vector unitario.

Completa(dV/ds)_max = ?

Alineado con el gradiente la tasa es máxima, de tamaño |∇V|.

Perpendicular a las equipotenciales

Como la dirección de cambio nulo es la equipotencial, el gradiente es siempre perpendicular a las superficies equipotenciales (tal como en EM-08). Es como las curvas de nivel cruzándose en ángulo recto con la subida más empinada en un terreno. Así que el gradiente reúne a la vez una dirección (la normal a la equipotencial) y una magnitud (la pendiente).

E = -∇V, de escalar a vector

El campo apunta donde el potencial cae más rápido, justo lo opuesto al gradiente: E = -∇V. El signo menos voltea la subida en bajada. Esta línea saca todo el campo vectorial E del campo escalar V. Conocer el único potencial da las tres componentes del campo por derivación; a la inversa, integrar el campo a lo largo de un camino devuelve el potencial.

Por tu cuentaE = ?

El campo es lo opuesto del gradiente del potencial.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, girar la flecha de prueba daba una tasa de subida distinta en cada dirección: cero por la equipotencial, máxima al alinearse con el gradiente. El gradiente ∇V es justo esa dirección y magnitud máximas reunidas, y la derivada direccional ∇V·û lo dice mediante un coseno. El campo es ese gradiente volteado cuesta abajo, E = -∇V, por eso siempre fue perpendicular a las equipotenciales.

El gradiente ∇V extrae de un campo escalar V la dirección de máximo ascenso y su inclinación como un vector. Sus componentes son las derivadas parciales (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z). La tasa de cambio en una dirección û es el producto escalar ∇V·û, máxima (= |∇V|) cuando û se alinea con ∇V. El gradiente es perpendicular a las equipotenciales, y el campo es su opuesto, E = -∇V.

Equipar herramientaAl equipar esta herramienta

El gradiente es la herramienta para sacar un campo vectorial de uno escalar. Una vez equipado, obtienes el campo E = -∇V directamente del potencial V (recuperando EM-08) y hallas el campo por derivación en cualquier problema con potencial. Junto con la divergencia ∇· (EM-07) y el rotacional ∇× (EM-16) forma los tres usos del operador nabla ∇ que sostienen la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell.