La ley de Gauss
Agranda la superficie y el flujo no cambia
La bola dibujada como una malla de alambre es una superficie gaussiana que rodea una carga puntual. Al agrandarla con el deslizador, el campo sobre la superficie se debilita como 1/R², pero el área crece como R², así que su producto, el flujo neto, se mantiene en el indicador. Si sacas la carga fuera con el botón, el flujo neto desaparece.
Qué dice la ley de Gauss
En EM-05 definiste el flujo neto a través de una superficie cerrada, ∮E·dA. La ley de Gauss dice que este valor es proporcional solo a la carga encerrada; en fórmula, ∮E·dA = Q_enc/ε₀. La constante es la permitividad del vacío, ε₀. Elijas la superficie que elijas, si encierra la misma carga, sale el mismo flujo.
Independiente de la forma y el tamaño
Al duplicar el radio de una esfera que rodea una carga puntual, el campo sobre la superficie se debilita a 1/4, pero el área se hace 4 veces mayor. Su producto, el flujo, no cambia. Lo mismo vale para una superficie abollada o un cubo: si encierra la misma carga, el flujo neto es siempre Q/ε₀. Si imaginas el flujo como el número de líneas de campo que atraviesan la superficie, ese número lo fija la carga y la forma de la superficie no importa.
Las cargas externas no cuentan
Cuando la carga está fuera de la superficie, sus líneas de campo entran por un lado y salen tal cual por el otro. Salen tantas como entran, así que el flujo neto es 0. Por eso la ley de Gauss solo cuenta la carga encerrada dentro de la superficie. Por grande que sea una carga exterior, no suma nada al flujo neto. Sin embargo, el campo E en cada punto de la superficie sí se ve afectado por las cargas exteriores, de modo que, si se rompe la simetría, la ley se cumple pero no da E directamente.
Con simetría, E sin integrar
Con buena simetría, la ley de Gauss se vuelve un atajo. Si se pone una esfera gaussiana concéntrica alrededor de una carga puntual o de una bola cargada de forma uniforme, el campo tiene magnitud constante sobre la superficie y es perpendicular a ella, así que la integral se reduce de inmediato a E·(4πr²). De ahí sale E = Q/(4πε₀r²), que es justamente el campo de Coulomb de EM-03. Para una línea infinita se elige un cilindro, y para un plano infinito una superficie en forma de caja; la clave es elegir una superficie que encaje con la simetría, como practicaste en EM-01.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla, agrandar la superficie gaussiana no movió el flujo neto. Lo que el campo sobre la superficie se debilitaba como 1/R² lo compensaba el área al crecer como R², y ambos se anulaban exactamente. Al sacar la carga fuera, el flujo cayó a 0, lo que significa que cada línea de campo que entró volvió a salir. Al final, lo que fija el flujo neto a través de una superficie cerrada no es su tamaño ni su forma, sino solo la carga encerrada dentro.
La ley de Gauss está escrita ahora como integral de superficie, la forma integral. El teorema de la divergencia de la próxima unidad (EM-07) convierte esta integral de superficie en una de volumen y obtiene la forma diferencial que se cumple en un punto, ∇·E = ρ/ε₀. Esa es la primera de las ecuaciones de Maxwell. La forma integral sirve para problemas con simetría, y la diferencial, para la estructura local de un campo.