Flujo y divergencia

Inclina el aro y observa el flujo

Las líneas de un campo eléctrico uniforme pasan paralelas en una dirección, y entre ellas hay un aro. Al inclinar el aro con el deslizador cambia el ángulo entre la normal dorada y el campo, y la elipse celeste, la sombra del aro proyectada en la dirección del campo, se encoge a la vez. Cuando el aro recibe el campo de frente pasa la mayor cantidad; puesto de canto, el flujo cae a 0.

Flujo, el campo a través de una superficie

El flujo cuenta cuánto campo eléctrico atraviesa una superficie. Si se compara el campo con agua que fluye, corresponde a la cantidad de agua que pasa por una red. En un campo uniforme, poner la superficie de frente al campo deja pasar la mayor cantidad.

Solo cuenta la parte perpendicular

Al inclinar la superficie, lo que pasa se reduce en el factor cosθ, donde θ es el ángulo entre la normal a la superficie y el campo. Cuando la superficie queda paralela al campo (θ=90°), el campo solo la roza y no puede atravesarla, así que el flujo es 0. En definitiva, el flujo es el producto escalar del vector campo y el vector superficie, y se escribe Φ = E·A = EA cosθ. El vector superficie A tiene como magnitud el área y como dirección la normal, y el área de la elipse celeste de la figura es justamente el área efectiva vista desde el campo.

Superficies curvas, campos variables

Cuando la superficie es curva o el campo cambia de un lugar a otro, se corta la superficie en trozos diminutos dA, se halla el flujo E·dA de cada trozo y se suman. Esa es la integral de superficie Φ = ∫E·dA. Así como en EM-04 integraste el campo de cargas puntuales a lo largo de una barra, aquí se integra el campo sobre una superficie.

Superficies cerradas y divergencia

Cuando una superficie rodea por completo una región y se cierra, el flujo que sale menos el que entra es el flujo neto, que se escribe ∮E·dA. Si el flujo neto es positivo, dentro hay una fuente que emite campo, es decir, una carga neta positiva; si es negativo, una carga neta negativa que absorbe campo. Si no hay flujo neto, las cargas de dentro se anulan o no hay ninguna. Al dividir este flujo neto entre el volumen encerrado y reducir el volumen sin límite, el límite es la divergencia, la cantidad de campo que brota por unidad de volumen en un punto. La ley de Gauss de la próxima unidad une justamente este flujo neto con la carga encerrada.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, el flujo era máximo con el aro de frente al campo y se volvió 0 al ponerlo de canto. Lo que fijaba la cantidad que pasaba era el coseno del ángulo entre la normal y el campo, es decir, el producto escalar, y el área de la elipse celeste de sombra coincidía con esa cantidad. Pasó tanto campo como la superficie proyecta en la dirección del campo. En una superficie curva o en un campo variable, este producto escalar se integra sobre la superficie, y en una superficie cerrada el flujo neto revela la carga de dentro.

El flujo neto a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga de dentro. La ley de Gauss de la próxima unidad (EM-06) lo fija como Φ = Q/ε₀, y el teorema de la divergencia (EM-07) une la integral de superficie con la de volumen, es decir, la forma integral con la diferencial. Con buena simetría, esta ley basta para obtener el campo eléctrico sin integrar.