El teorema de la divergencia
Enlazar la superficie y el interior
Subdivide la región en celdas pequeñas. En una cara compartida por dos vecinas, lo que una expulsa la otra lo recibe, así que se cancelan. ¿Qué queda, sin cancelarse nunca?
Un puente entre superficie e interior
La ley de Gauss habla del flujo por una superficie cerrada (lo de fuera). El teorema de la divergencia lo enlaza con la suma, en todo el volumen, de la divergencia en cada punto interior: ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. Dice que lo medido en la superficie iguala lo medido en todo el volumen.
Por qué se cumple: las caras vecinas se cancelan
Divide la región en celdas pequeñas y suma el flujo neto de cada una. En una cara interior compartida por dos celdas, el flujo que sale de una es el que entra en la otra, con signo opuesto. Así las caras interiores se cancelan por pares. Las únicas que quedan sin pareja son las de la frontera exterior. Sumar la divergencia de cada celda deja, por tanto, solo el flujo por la superficie externa.
Divergencia, la fuente por unidad de volumen
Reduce una celda a nada y su flujo neto dividido por el volumen se vuelve la divergencia ∇·E en un punto: el campo que brota allí por unidad de volumen. Donde la divergencia es positiva el punto es una fuente (carga positiva); donde es negativa, un sumidero (carga negativa). El teorema de la divergencia dice que reunir ese brote punto a punto sobre el volumen da el flujo de superficie.
La forma diferencial de Gauss
Mete el teorema de la divergencia en la ley de Gauss. El flujo de superficie ∮E·dA es Q/ε₀, y el interior es ∫(∇·E)dV. La carga encerrada Q es la densidad integrada en el volumen, ∫ρ dV. Entonces ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV se cumple para cualquier volumen, así que los integrandos deben coincidir: ∇·E = ρ/ε₀. La forma integral de una línea se ha vuelto una forma diferencial punto a punto: la primera de las ecuaciones de Maxwell.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla, cuanto más finamente dividías la región, más densas se volvían las caras interiores compartidas, y sin embargo todas se cancelaban por pares. Las únicas que quedaban eran las de la frontera exterior. Así que la integral de volumen de la divergencia de cada celda iguala exactamente la integral de superficie: ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. Pon este puente sobre la ley de Gauss y surge la forma diferencial ∇·E = ρ/ε₀.
El teorema de la divergencia es la herramienta para moverse libremente entre integrales de superficie y de volumen. Una vez equipado, tienes la forma diferencial de la ley de Gauss, ∇·E = ρ/ε₀ (Maxwell 1, EM-22), emparejada con su contraparte de circulación, el teorema de Stokes (EM-16). La forma integral sirve para problemas simétricos; la diferencial, para la estructura local del campo y las ecuaciones de Maxwell.