El teorema de la divergencia
Une el exterior y el interior
El cubo dorado es la superficie cerrada, y las líneas celestes son una cuadrícula que divide su interior en celdas pequeñas. Al aumentar las divisiones con los botones aparecen más caras compartidas entre celdas, y en cada una de ellas lo que un lado envía lo recibe el otro, así que se anulan como el par de flechas grises. Lo único que sobrevive al final son las flechas doradas que salen por las caras exteriores.
Un puente entre superficie e interior
La ley de Gauss habla del flujo medido en una superficie cerrada, el exterior. El teorema de la divergencia une ese flujo exterior con la divergencia en cada punto del interior, sumada sobre todo el volumen. ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. Este puente, que dice que lo medido en la superficie es igual a lo medido dentro del volumen, no es una ley física solo para el campo eléctrico, sino un teorema matemático que vale para cualquier campo vectorial suave.
Por qué se cumple: las caras vecinas se cancelan
Divide la región en celdas pequeñas, halla el flujo neto de cada una y súmalos todos. En una cara interior compartida por dos celdas, el flujo que envía una celda es justamente el que entra en su vecina, así que los dos valores tienen signos opuestos. Por eso las caras interiores se anulan por pares, y las únicas caras que se quedan sin pareja son las de la frontera exterior. Al final, al sumar el flujo de todas las celdas solo queda el flujo a través de la frontera exterior.
Divergencia, la fuente por unidad de volumen
Si se reduce una celda sin límite, su flujo neto dividido entre su volumen se convierte en la divergencia ∇·E en un punto, la cantidad de campo que brota de ese punto por unidad de volumen. Un punto con divergencia positiva tiene una fuente que emite campo (carga positiva), y uno con divergencia negativa, un sumidero que lo absorbe (carga negativa). El teorema de la divergencia dice que reunir sobre todo el volumen esas salidas punto a punto da el flujo exterior.
La forma diferencial de Gauss
Mete el teorema de la divergencia en la ley de Gauss. El flujo exterior ∮E·dA es Q/ε₀, y el interior es ∫(∇·E)dV. La carga encerrada Q es la densidad de carga integrada sobre el volumen, ∫ρ dV. Entonces ∫(∇·E)dV = ∫(ρ/ε₀)dV vale para cualquier volumen que se elija, así que los dos integrandos deben ser iguales. ∇·E = ρ/ε₀. La forma integral de una línea se ha convertido en una forma diferencial que se cumple en cada punto, y esta es la primera de las ecuaciones de Maxwell.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla, cuanto más finamente dividías la región, más caras compartidas llenaban el interior, pero todas se anularon por pares. Solo sobrevivieron hasta el final las caras de la frontera exterior. Por eso la integral de volumen que suma la divergencia de todas las celdas es exactamente igual a la integral de superficie exterior. ∮E·dA = ∫(∇·E)dV. Si se coloca este puente sobre la ley de Gauss, sale la forma diferencial ∇·E = ρ/ε₀.
El teorema de la divergencia es una herramienta para pasar libremente entre integrales de superficie e integrales de volumen. Con ella equipada obtienes la forma diferencial de la ley de Gauss, ∇·E = ρ/ε₀ (Maxwell 1·EM-22), y forma pareja con su teorema compañero sobre lazos cerrados, el teorema de Stokes (EM-16). La forma integral sirve para problemas con simetría, y la diferencial, para la estructura local de los campos y las ecuaciones de Maxwell.