La corriente de desplazamiento

Sube la tasa de carga y mira la corriente de desplazamiento

El control fija la rapidez con que se carga el condensador. La longitud de las flechas celestes entre las placas no muestra el campo eléctrico en sí, sino la rapidez con que crece, y los tres anillos dorados son el campo magnético alrededor del cable superior, del hueco y del cable inferior. Si subes la rapidez de carga, los tres anillos crecen por igual; con una rapidez de 0 (en reposo), desaparecen todos. Por qué circula un campo magnético alrededor de un hueco que ninguna carga cruza es la pregunta de esta lección.

Un mismo lazo, dos respuestas

La ley de Ampère dice que el campo sumado a lo largo de una vuelta completa a un lazo (su circulación) es proporcional a la corriente que atraviesa el lazo. ∮B·dl = μ₀I_enc (EM-14). Rodea con un lazo de Ampère el cable que entra en un condensador, elige una superficie cuyo borde sea ese lazo y cuenta la corriente que la atraviesa. Si eliges una superficie plana que el cable atraviesa, pasa una corriente I; si eliges una superficie que se abomba y pasa por el hueco entre las placas, el cable no la atraviesa y la corriente es 0. El mismo lazo, otra superficie, otra respuesta: la ley de Ampère, siempre válida en magnetostática, se queda corta en un circuito que se está cargando. Que cualquier superficie apoyada en el mismo lazo deba dar la misma respuesta es la condición que vimos con el rotacional y el teorema de Stokes.

La adición de Maxwell, la corriente de desplazamiento

Entre las placas se acumula carga y el campo E crece. Maxwell vio que ε₀ por la tasa de cambio del flujo eléctrico, ε₀ dΦ_E/dt, rellena justo la corriente que faltaba en el hueco, y la llamó corriente de desplazamiento I_d = ε₀ dΦ_E/dt. La superficie abombada no capta nada de la corriente del cable, pero a cambio capta la misma cantidad de corriente de desplazamiento, así que ahora cualquier superficie da μ₀I. Por eso el anillo del medio de la figura se dibuja más grande que las placas: solo un lazo que pasa por fuera de los bordes de las placas encierra todo el flujo eléctrico del hueco y obtiene el mismo campo que los lazos alrededor del cable. Un lazo más pequeño que las placas encierra solo parte del flujo, y su campo es más débil en esa proporción. La ley de Ampère corregida es ∮B·dl = μ₀(I_c + I_d).

El espejo de Faraday

La ley de Faraday decía que un campo magnético que cambia va acompañado de un campo eléctrico. ∇ × E = -∂B/∂t (EM-20). El término de Maxwell es su imagen especular: un campo eléctrico que cambia va acompañado de un campo magnético. ∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t. Las dos ecuaciones forman pareja en su forma, pero difieren en el signo: la de Faraday es negativa y la de Maxwell, positiva. Gracias a que los signos son opuestos, al combinar las dos ecuaciones sale la ecuación de una onda en la que los dos campos se relevan uno a otro; con el mismo signo no habría oscilación, solo soluciones que crecen o se apagan en un solo sentido. Un campo que cambia genera el otro, y este vuelve a generar el primero: así se cierra el ciclo.

Abriendo la puerta a las ondas electromagnéticas

Con este término, incluso en el espacio vacío, sin cargas ni cables (J = 0), un campo eléctrico que cambia crea un campo magnético, y ese campo, al cambiar, vuelve a crear un campo eléctrico (Faraday). Los dos campos que se sostienen uno a otro mientras viajan por el vacío forman una onda electromagnética, y su rapidez, c = 1/√(μ₀ε₀), queda fijada solo por las dos constantes. Cuando Maxwell calculó este valor, coincidió con la rapidez de la luz medida entonces, y de ahí salió la conclusión de que la luz es una onda electromagnética. El mismo término explica por qué, en un circuito de corriente alterna, la corriente parece cruzar el condensador. El nombre «desplazamiento» viene de que Maxwell imaginaba un medio en el vacío que era empujado; hoy el término se entiende sin ningún medio, como el cambio del propio campo eléctrico puesto en el mismo lugar que una corriente. Eso sí, si entre las placas hay un dieléctrico, parte de la corriente de desplazamiento es una corriente de polarización: las cargas ligadas del dieléctrico sí se desplazan un poco.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, con una rapidez de carga de 0 no había campo magnético, y cuanto más rápida era la carga, más fuerte era el campo alrededor del hueco que ninguna carga cruza. El campo eléctrico que crece en el hueco equivale exactamente a una corriente I_d = ε₀ dΦ_E/dt, igual a la del cable, y crea el mismo campo magnético que ella. Por eso el lazo alrededor del cable y el lazo alrededor del hueco tenían el mismo campo. ∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t. Un campo eléctrico que cambia da origen al magnetismo.

Ya están las cuatro ecuaciones: la ley de Gauss (∇·E = ρ/ε₀), la ley de Gauss para el magnetismo (∇·B = 0), la ley de Faraday (∇ × E = -∂B/∂t) y la ley de Ampère completada con la corriente de desplazamiento (∇ × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t). La siguiente lección (EM-22) reúne las cuatro en las ecuaciones de Maxwell y muestra cómo se esconden en ellas las ondas electromagnéticas.