El rotacional y el teorema de Stokes

Enlazar el lazo y el interior

Subdivide la superficie en celdas pequeñas. En una arista compartida por dos vecinas, la circulación de una corre opuesta a la otra, así que se cancelan. ¿Qué queda, sin cancelarse nunca?

Un puente entre lazo e interior

La ley de Ampère (EM-14) habla de la circulación ∮B·dl alrededor de un lazo cerrado. El teorema de Stokes enlaza esta circulación con el rotacional en cada punto de la superficie que el lazo limita, integrado sobre ella: ∮F·dl = ∫(∇×F)·dA. El rotacional ∇×F es un vector que mide cuánto remolinea un campo en un punto. Donde el teorema de la divergencia (EM-07) ató una superficie a un volumen, el de Stokes ata un lazo a una superficie.

Por qué se cumple: las aristas vecinas se cancelan

Divide la superficie en celdas pequeñas y suma la pequeña circulación de cada una. En una arista interior compartida por dos celdas, una celda recorre esa arista en un sentido mientras su vecina lo hace en el opuesto. Así las contribuciones interiores se cancelan por pares. Las únicas aristas sin pareja son las de la frontera exterior. Sumar el rotacional de cada celda deja, por tanto, solo la circulación del lazo frontera. La pequeña circulación de una celda dividida por su área es el rotacional ∇×F.

Rotacional, la circulación por unidad de área

Reduce una celda a nada y su circulación dividida por el área se vuelve el rotacional ∇×F en un punto: la cantidad de giro allí por unidad de área. El rotacional es un vector, que apunta a lo largo de la normal del plano donde el giro es más fuerte (mano derecha). Es como una ruedita de paletas en el agua, midiendo cuánto y sobre qué eje gira en un punto. Donde la divergencia medía el brote, el rotacional mide el remolino.

La forma diferencial de Ampère

Mete el teorema de Stokes en la ley de Ampère. La circulación del lazo ∮B·dl es μ₀I, y el interior es ∫(∇×B)·dA. La corriente I que atraviesa el lazo es la densidad de corriente integrada sobre la superficie, ∫J·dA. Entonces ∫(∇×B)·dA = ∫(μ₀J)·dA se cumple para cualquier superficie, así que los integrandos deben coincidir: ∇×B = μ₀J. La forma integral de una línea se ha vuelto una forma diferencial punto a punto. Se empareja con el teorema de la divergencia que da la forma diferencial de Gauss ∇·E=ρ/ε₀: otra de las ecuaciones de Maxwell.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, cuanto más finamente dividías la superficie, más densas se volvían las aristas interiores compartidas, y sin embargo todas se cancelaban por pares, porque donde una celda giraba en un sentido su vecina giraba en el otro. Las únicas aristas que quedaban eran las de la frontera. Así que la integral de superficie del rotacional de cada celda iguala exactamente la circulación del lazo frontera: ∮F·dl = ∫(∇×F)·dA. Pon este puente sobre la ley de Ampère y surge la forma diferencial ∇×B = μ₀J.

El teorema de Stokes es la herramienta para moverse libremente entre integrales de lazo y de superficie. Una vez equipado, tienes la forma diferencial de la ley de Ampère, ∇×B = μ₀J, y emparejada con el ∇· del teorema de la divergencia (EM-07) completa los tres usos del operador nabla ∇ (∇, ∇·, ∇×). A través de la ley de Faraday (EM-20) y la corriente de desplazamiento (EM-21), sostiene toda la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell.