El rotacional y el teorema de Stokes
Une el lazo con lo que hay dentro
El lazo dorado es el borde de la superficie, y la cuadrícula celeste la divide en celdas pequeñas. Cada celda tiene una pequeña marca de giro; al aumentar las divisiones con los botones, en una arista compartida por dos celdas vecinas la circulación de una celda y la de la siguiente corren en sentidos opuestos, como el par de flechas grises, y se anulan. Lo único que queda sin anular al final es la circulación alrededor del lazo dorado del borde.
Un puente entre lazo e interior
La ley de Ampère (EM-14) habla de la circulación alrededor de un lazo cerrado, ∮B·dl. El teorema de Stokes une ambas cosas al decir que esa circulación es igual al rotacional en cada punto de una superficie limitada por el lazo, integrado sobre esa superficie. ∮F·dl = ∫(∇×F)·dA. El rotacional ∇×F es un vector que mide cuánto se arremolina un campo en un punto. Para cualquier superficie que se apoye en el mismo lazo, plana o abombada, el resultado es el mismo, y esta propiedad lleva más adelante a la razón de que haga falta la corriente de desplazamiento. Si el teorema de la divergencia (EM-07) unía una superficie y un volumen, el teorema de Stokes une un lazo y una superficie.
Por qué se cumple: las aristas vecinas se cancelan
Divide la superficie en celdas pequeñas, halla la pequeña circulación de cada una y súmalas todas. En una arista interior compartida por dos celdas, si una celda recorre esa arista en un sentido, la vecina recorre la misma arista en el sentido contrario. Por eso las contribuciones de las aristas interiores se anulan por pares, y las únicas aristas que quedan sin pareja son las de la frontera exterior. Al final, al sumar la circulación de todas las celdas solo queda la circulación alrededor del lazo de la frontera. La pequeña circulación de una celda dividida entre su área es justamente el rotacional ∇×F.
Rotacional, la circulación por unidad de área
Si se reduce una celda sin límite, su circulación dividida entre su área se convierte en el rotacional ∇×F en un punto, la cantidad de giro en ese punto por unidad de área. El rotacional es un vector que apunta según la normal del plano en que el campo gira con más fuerza, con el sentido fijado por la mano derecha. Es como medir cuánto y alrededor de qué eje gira, en un punto, una pequeña rueda de paletas que flota en el agua. Si la divergencia medía lo que brota, el rotacional mide el remolino.
La forma diferencial de Ampère
Mete el teorema de Stokes en la ley de Ampère. La circulación del lazo ∮B·dl es μ₀I, y el interior es ∫(∇×B)·dA. La corriente I que atraviesa el lazo es la densidad de corriente integrada sobre la superficie, ∫J·dA. Entonces ∫(∇×B)·dA = ∫(μ₀J)·dA vale para cualquier superficie que se elija, así que los dos integrandos deben ser iguales. ∇×B = μ₀J. La forma integral de una línea se ha convertido en una forma diferencial que se cumple en cada punto. Es otra de las ecuaciones de Maxwell, pareja de la forma diferencial de la ley de Gauss, ∇·E=ρ/ε₀, que dio el teorema de la divergencia.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla, cuanto más finamente dividías la superficie, más aristas compartidas llenaban el interior, pero todas se anularon por pares, porque cuando una celda giraba en un sentido su vecina giraba en el otro. Solo sobrevivieron hasta el final las aristas de la frontera exterior, y por eso la integral de superficie que suma el rotacional de todas las celdas es exactamente igual a la circulación alrededor del lazo de la frontera. ∮F·dl = ∫(∇×F)·dA. Si se coloca este puente sobre la ley de Ampère, sale la forma diferencial ∇×B = μ₀J.
El teorema de Stokes es una herramienta para pasar libremente entre integrales sobre lazos e integrales de superficie. Con ella equipada obtienes la forma diferencial de la ley de Ampère, ∇×B = μ₀J, y junto con el ∇· del teorema de la divergencia (EM-07) completa los tres usos del operador nabla (∇, ∇·, ∇×). A través de la ley de Faraday (EM-20) y la corriente de desplazamiento (EM-21), sostiene toda la forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell.