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EM-01 · Caja de electrostáticaEquipar herramienta

Sistemas de coordenadas y el elemento diferencial

Cómo divides el espacio decide cuán difícil será la integral. Aprende a elegir el sistema cuya celda diminuta encaja con la simetría.

Empareja la celda diferencial con el trozo de espacio

Arrastra para inspeccionar el trozo dorado de espacio. ¿Qué sistema lo cubre sin huecos?

Arrastra para orbitar. Toca para cambiar de sistema.
Volumen diferencial del sistema elegido
dV = dx · dy · dz
Tres aristas rectas. Sin factor de escala.
Desalineado

Cartesianas: un cubo recto

Los tres ejes son perpendiculares y el espaciado es uniforme. El volumen diferencial es solo el producto de tres aristas. Sin aristas curvas, cada factor de escala es 1.

ObservadV = dx dy dz
Las tres aristas cartesianas se multiplican tal cual.

Cilíndricas: un ángulo se vuelve arco

Cuanto mayor es ρ, más distancia barre el mismo ángulo dφ. Por eso la arista φ mide ρ dφ, no dφ. La ρ que convierte un ángulo en longitud es el factor de escala.

ObservadV = dρ ρ dφ dz
Solo la arista angular lleva ρ para volverse longitud.
EligedV = dρ (?) dz
Solo la arista angular lleva ρ para volverse longitud.

Esféricas: dos arcos

La arista meridiana es un arco de radio r, así que r dθ. La arista paralela va sobre un círculo menor de radio r sinθ, no r, así que r sinθ dφ. Los dos factores se multiplican en r² sinθ.

EligedV = dr (?) ( ? )
El arco meridiano tiene radio r.
CompletadV = dr (r dθ) (?)
El arco paralelo tiene radio r sinθ.
Por tu cuentadV = ? dr dθ dφ
Reúne ambos factores: r² sinθ.

Los elementos de área siguen la misma lógica

Un parche sobre una esfera de radio r tiene área igual al producto de dos arcos: dA = r² sinθ dθ dφ. La integral de superficie de la ley de Gauss en las próximas unidades es justamente sumar estos parches.

De vuelta a la primera pantalla

Lo que llenó el trozo dorado sin huecos fue la celda diferencial esférica. Sus tres aristas (dr, r dθ, r sinθ dφ) crecen en las mismas direcciones que la simetría del trozo. El cubo no podía seguir la superficie curva, y la cuña cilíndrica desencajaba arriba y abajo. Elegir un sistema de coordenadas es, al final, dar a la celda diferencial la forma de la simetría del problema.

El elemento de volumen diferencial es el producto de tres longitudes de arista. Una arista recta es solo el incremento de coordenada, pero una arista curva lleva un factor de escala para volverse longitud de arco. Cartesianas dV = dx dy dz, cilíndricas dV = ρ dρ dφ dz, esféricas dV = r² sinθ dr dθ dφ.
Equipar herramientaAl equipar esta herramienta

Los sistemas de coordenadas y los elementos diferenciales son el asa de toda integral de campo. Al equipar esta herramienta se abren las siguientes unidades: campos escalares y vectoriales (EM-02), flujo eléctrico y divergencia (EM-05), y la integral de superficie de la ley de Gauss (EM-06) ocurren sobre la celda diferencial que eliges aquí.