Sistemas de coordenadas y el elemento diferencial
Elige el elemento de volumen que encaja con el trozo de espacio
El trozo dorado es una región recortada de una esfera. Arrástralo para girarlo y superpón una tras otra las celdas diminutas de los tres sistemas de coordenadas; solo una de ellas llena el trozo dorado sin huecos.
Cartesianas: un cubo recto
Los tres ejes son perpendiculares entre sí y la separación de la cuadrícula es la misma en todas partes. Así que el elemento de volumen es simplemente el producto de las tres aristas, y como ninguna se curva, todos los factores de escala valen 1.
Cilíndricas: un ángulo se vuelve arco
En coordenadas cilíndricas, el mismo ángulo dφ barre una distancia mayor cuanto más lejos estás del eje, es decir, cuanto mayor es ρ. Por eso la longitud de la arista en φ no es dφ sino ρ dφ. Este ρ, que convierte un ángulo en una longitud, es el factor de escala, mientras que las otras dos aristas, dρ y dz, siguen rectas.
Esféricas: dos arcos
Las coordenadas esféricas tienen dos aristas curvas. La que sigue un meridiano es un arco de una circunferencia de radio r, así que mide r dθ. La que sigue un paralelo es un arco de una circunferencia más pequeña, de radio r sinθ y no r, así que mide r sinθ dφ; los paralelos se achican al acercarse a los polos. Al multiplicar los dos factores de escala se obtiene r² sinθ, y la arista radial dr sigue recta.
Los elementos de área siguen la misma lógica
El área de un trozo pequeño sobre una esfera de radio r se halla del mismo modo. Al multiplicar los dos arcos se obtiene dA = r² sinθ dθ dφ. La integral de superficie de la ley de Gauss que verás en las próximas unidades consiste justamente en sumar estos trozos sobre toda la esfera.
De vuelta a la primera pantalla
Lo que llenó el trozo dorado sin huecos fue el elemento de volumen esférico. Sus tres aristas (dr, r dθ, r sinθ dφ) crecen en las mismas direcciones que la simetría del trozo. La caja cartesiana no podía seguir la superficie curva, y la cuña cilíndrica tiene las caras de arriba y de abajo planas, que no coinciden con la esfera. Elegir un sistema de coordenadas es, en el fondo, ajustar la forma del trozo diminuto a la simetría del problema.
Los sistemas de coordenadas y los elementos diminutos son las asas de toda integral de campo. Con esta herramienta equipada se abren las unidades siguientes. Los campos escalares y vectoriales (EM-02), el flujo eléctrico y la divergencia (EM-05) y la integral de superficie de la ley de Gauss (EM-06) se calculan sobre los trozos diminutos elegidos aquí.