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Mis palabras
EM-04 · Campo de electrostática

Integración de carga continua

El campo de una carga continua se halla troceándola en innumerables piezas de carga puntual y sumando el campo diminuto de cada pieza como vector. Comprueba tú mismo que cuanto más finas las piezas, más se acerca la suma al valor verdadero.

Añade piezas para acercarte a la integral

Elige en cuántas piezas cortar la barra cargada. Uniendo la pequeña flecha dE de cada pieza punta con cola se obtiene el campo total E. A medida que se multiplican las piezas, ¿cómo cambia la suma?

Número de piezas N
Arrastra para orbitar. Los botones fijan el número de piezas N.
El campo E en P (suma de las piezas)
E = ∫ dE = ∫ k dq/r² r̂ · suma de campos diminutos
dq = λ dl = σ dA = ρ dV · densidad de línea, superficie, volumen
Convergencia · 70%
Aproximación tosca

Del punto a la distribución

Vimos el campo de una sola carga puntual en EM-03. Cuando la carga se reparte de forma continua, como una barra o una placa, la tratamos como innumerables piezas de carga puntual. Cada pieza dq crea un campo diminuto dE = k dq/r² r̂. El campo total es la suma de todos esos campos diminutos, y esa suma, sobre piezas cada vez más finas, es una integral.

ObservadE = k dqr² r̂
Una pieza crea un dE igual que una carga puntual.

La carga de una pieza, dq

La carga de una pieza dq es su densidad por su tamaño. Para una carga lineal dq = λ dl, para una superficial dq = σ dA, para una volumétrica dq = ρ dV. Aquí dl, dA, dV son los elementos diferenciales que elegiste en EM-01. Elegir el sistema de coordenadas que encaja con la simetría mantiene limpia esta integral.

Eligedq = ?
La carga de una pieza lineal es densidad por longitud.

La suma se vuelve integral

Cortada en N piezas, la suma vectorial de N campos diminutos es una aproximación. Al crecer N y volverse las piezas infinitamente finas, la suma converge a un único valor. Ese límite es la integral E = ∫ k dq/r² r̂. Como el campo es un vector, se integra componente a componente.

CompletaE = ?
La integral es la suma infinita de campos diminutos.
Por tu cuentaE = ?
El campo total es la integral del dE de cada pieza.

Las direcciones también se suman

Como dE es un vector, no solo se suman magnitudes sino también direcciones. Cuando hay simetría, algunas componentes se cancelan. Para una línea de carga muy larga, por ejemplo, las componentes a lo largo de la barra se anulan y solo quedan las perpendiculares, así que la respuesta se simplifica. Ver primero qué componentes sobreviven es la maña de la integral.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, con una sola pieza la barra se trataba como un único punto central, así que la flecha fallaba. Al añadir piezas, los campos diminutos dE se unieron punta con cola y la suma convergió a una dirección y una magnitud. Ese valor convergido es la integral E = ∫ k dq/r² r̂. Integrar es, al final, sumar sin omitir nada los campos de cargas puntuales finamente troceadas.

El campo de una carga continua se halla troceando la distribución en innumerables piezas de carga puntual dq e integrando como vector el campo diminuto dE = k dq/r² r̂ de cada pieza. Así E = ∫ k dq/r² r̂, donde la carga de la pieza es dq = λ dl (línea), σ dA (superficie) o ρ dV (volumen).
El camino que sigue

La integración directa sirve para cualquier distribución pero cuesta trabajo. Cuando la simetría es buena, hay un camino más rápido. Contar cuánto campo atraviesa una superficie cerrada — el flujo y la divergencia (EM-05) y la ley de Gauss (EM-06) — permite obtener el campo de una distribución simétrica sin integrar.