Integración de carga continua
Añade trozos y acércate a la integral
Elige con los botones en cuántos trozos cortar la barra cargada: las pequeñas flechas dE de cada trozo se encadenan de punta a cola y forman el campo eléctrico total E en el punto P. Con un solo trozo la suma falla hasta en la dirección, pero al aumentar los trozos el extremo de la cadena se asienta en un punto. La convergencia del indicador muestra, en porcentaje, cuánto se acerca la suma al valor verdadero.
Del punto a la distribución
El campo eléctrico de una sola carga puntual lo viste en EM-03. Cuando la carga está repartida de forma continua, como en una barra o una placa, se puede ver como muchos trozos de carga puntual. El pequeño campo que crea un trozo es dE = k dq/r² r̂. El campo total es la suma de todos esos pequeños campos, y esa suma hecha con trozos infinitamente finos es una integral.
La carga de una pieza, dq
La carga dq de un trozo es la densidad de carga por el tamaño del trozo. Para una carga lineal dq = λ dl, para una superficial dq = σ dA y para una volumétrica dq = ρ dV. Aquí dl, dA, dV son los elementos diminutos elegidos en EM-01, así que elegir un sistema de coordenadas que encaje con la simetría también deja limpia esta integral.
La suma se vuelve integral
Si se corta la barra en N trozos, la suma vectorial de N pequeños campos es una aproximación. Al hacer crecer N para que los trozos sean infinitamente pequeños, la suma se asienta en un valor; ese límite es la integral E = ∫ k dq/r² r̂. Como el campo eléctrico es un vector, en la práctica cada componente se integra por separado. Con la barra de la figura, cortarla en solo cuatro trozos ya lleva la convergencia cerca del cien por ciento, porque cuanto más pequeños son los trozos, mejor funciona tratarlos como cargas puntuales.
Las direcciones también se suman
Los pequeños campos dE son vectores, así que se suma la dirección junto con la magnitud. Donde hay simetría, algunas componentes se anulan. Junto al centro de una carga lineal muy larga, las componentes a lo largo de la línea se anulan todas y solo queda la perpendicular, lo que simplifica la respuesta. El punto P de la figura está más allá del extremo de la barra, así que no hay tal anulación y quedan componentes en varias direcciones. Antes de empezar una integral, el truco es ver primero qué componentes sobreviven.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla, con un solo trozo la barra se trataba como un único punto en el centro, así que la flecha fallaba hasta en la dirección. Al aumentar los trozos, los pequeños campos dE se encadenaron de punta a cola y la suma se asentó en una dirección y un tamaño. Ese valor de convergencia es la integral E = ∫ k dq/r² r̂. Al final, integrar es sumar, sin dejar ninguno, los campos de cargas puntuales cortadas finamente.
La integración directa sirve para cualquier distribución, pero cuesta mucho trabajo. Para distribuciones con buena simetría hay un camino más rápido. Si pasas al flujo y la divergencia (EM-05), que cuentan cuánto campo eléctrico atraviesa una superficie cerrada, y a la ley de Gauss (EM-06), puedes hallar el campo de una distribución simétrica sin integrar.