La ley de Biot–Savart
Gira el punto de prueba y mira dB
Gira el punto de prueba alrededor de un elemento de corriente que fluye hacia arriba. ¿Cuánto vale el campo diminuto dB a lo largo de la corriente (arriba y abajo)? ¿Y al costado, perpendicular a ella? ¿Hacia dónde apunta dB?
El campo magnético viene de la corriente
Una carga en reposo crea un campo eléctrico (EM-03). Cuando la carga se mueve — cuando fluye una corriente — aparece un campo nuevo a su alrededor: el campo magnético B. Pon una brújula junto a un cable y la aguja gira solo mientras fluye corriente. El campo magnético no viene de la cantidad de carga sino de su movimiento. Hasta un imán, de hecho, lo crea el flujo de electrones dentro de sus átomos.
Biot–Savart, el campo diminuto
Un trozo corto cortado del camino de la corriente es un elemento de corriente I dl. La ley de Biot–Savart da el campo diminuto que este trozo crea en un punto a distancia r: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂ / r². Su magnitud cae con el inverso del cuadrado de la distancia y escala con sinθ (θ es el ángulo entre la corriente y la línea al punto). Su dirección es perpendicular a la corriente y a esa línea, fijada por la regla de la mano derecha. La constante μ₀ es la permeabilidad del vacío.
El campo rodea la corriente
El campo eléctrico irradiaba recto desde la carga. El magnético es distinto. Por el producto vectorial dl × r̂, dB envuelve la corriente como un eje. A lo largo de la corriente, arriba y abajo (θ=0), sinθ=0 así que dB se anula; al costado, perpendicular (θ=90°), es máximo. Así el campo alrededor de una corriente recta forma círculos concéntricos. Apunta el pulgar derecho a lo largo de la corriente y los dedos que se curvan muestran cómo circula el campo.
El campo total = una integral
Una vez conoces el dB de un trozo, sumas como vectores el dB de cada trozo a lo largo de todo el camino de la corriente para obtener el campo total: B = ∫ dB. Es la misma estructura que integrar el dE de una carga puntual sobre una distribución en EM-04. Para una corriente recta infinitamente larga, por ejemplo, esta integral sale limpia como B = μ₀I/(2πr), así que el campo cae inversamente con la distancia. Cuando la simetría es buena, la ley de Ampère de la próxima unidad te deja saltarte incluso esta integral.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla, mover el punto de prueba a lo largo de la corriente, arriba y abajo, hizo a dB desaparecer a cero; moverlo al costado, perpendicular, lo hizo máximo. Su tamaño siguió sinθ. Y dB siempre apuntó fuera del plano formado por la corriente y la dirección de prueba, envolviendo la corriente. Es el producto vectorial dl × r̂ en acción. Sumar el dB de este trozo a lo largo de todo el camino da el campo total B.
La integral de Biot–Savart sirve para cualquier forma de corriente pero cuesta trabajo. Con buena simetría hay un atajo: la ley de Ampère (EM-14), que el campo sumado alrededor de un lazo cerrado, ∮B·dl, es proporcional a la corriente que atraviesa el lazo. Igual que la ley de Gauss en electrostática, saca el campo de un cable, un solenoide o un toroide sin integrar.