La función de transferencia y la impedancia generalizada
Un polo fija a la vez el transitorio y el corte
Visto con impedancia generalizada, un paso bajo RC es H(s) = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1+sRC). El polo que anula el denominador es s = −1/(RC) = −1/τ, sobre el eje real negativo del plano s. Desliza la constante de tiempo τ para colocar el polo en el objetivo s = −2. Ese polo es a la vez la velocidad del transitorio e^(−t/τ) y el corte de frecuencia ω_c = 1/τ.
Amplía jω a s
En régimen permanente sinusoidal la impedancia se escribía con jω: una bobina como jωL, un condensador como 1/jωC. Generaliza ese jω a la frecuencia compleja s = σ + jω y la bobina pasa a sL, el condensador a 1/sC. Pon s = jω (σ=0) y vuelves exactamente al régimen sinusoidal; deja que s tenga parte real σ y el transitorio que crece o decae queda dentro de la misma impedancia. La resistencia no depende de la frecuencia, así que sigue siendo R. Esta única ampliación une régimen permanente y transitorio en el mismo lenguaje.
El circuito es un divisor en s
Con impedancia generalizada, dos elementos en serie siguen siendo un divisor de tensión. Tomando la salida en el condensador de un paso bajo RC, H(s) = Vout/Vin = Z_C/(Z_R + Z_C) = (1/sC)/(R + 1/sC). Multiplica numerador y denominador por sC y ordena para obtener H(s) = 1/(1 + sRC). Una sola línea de división de tensión es la función de transferencia del circuito. Mete una bobina como sL, o toma un circuito más complejo, y la misma división y combinación de impedancias construyen H(s) igual.
Una expresión, tres caras
La función de transferencia H(s) = 1/(1+sRC) se lee de tres maneras. Primero, en s = 0 (CC), H = 1, así que la ganancia en CC es 1 y las señales lentas pasan sin cambio. Segundo, pon s = jω y H(jω) = 1/(1+jωRC), una respuesta paso bajo cuya magnitud cae a 1/√2 en ω = 1/RC. Tercero, el polo que anula el denominador, s = −1/RC, fija el transitorio, así que cerrar un interruptor deja la salida asentarse como e^(−t/RC). Una misma expresión lleva la ganancia en CC, el corte de frecuencia y la constante de tiempo a la vez. Una sola posición de polo comprime todo el comportamiento del circuito.
De vuelta a la primera pantalla
Al deslizar la constante τ, el polo s = −1/τ se movió por el eje real negativo y alcanzó el objetivo s = −2 en τ = 0.5. Ese único polo fijó dos cosas a la vez: en el tiempo, la velocidad con que la salida se asienta como e^(−t/τ); en frecuencia, el corte que se dobla en ω = 1/τ. Porque ampliar jω a s permitió ver el condensador como 1/sC, el paso bajo RC se escribió como una línea de división H(s) = 1/(1+sτ), y esa expresión guardó la ganancia en CC, la respuesta en frecuencia y el transitorio juntos.