La función de transferencia y la impedancia generalizada
Un polo fija a la vez el transitorio y el corte
A la izquierda hay un circuito RC pasa bajas; visto con impedancias generalizadas, H(s) = (1/sC)/(R + 1/sC) = 1/(1+sRC). El polo, que hace 0 el denominador, está en s = −1/(RC) = −1/τ, y la cruz dibujada sobre el eje real negativo del plano s de la derecha marca su lugar. Desliza la constante de tiempo τ para llevar la cruz al objetivo s = −2 dentro del círculo discontinuo. Ese polo es a la vez la rapidez del transitorio e^(−t/τ) y el corte en frecuencia ω_c = 1/τ.
Amplía jω a s
En régimen sinusoidal permanente, la impedancia se escribía con jω: jωL para una bobina y 1/jωC para un condensador. Si extiendes ese jω a la frecuencia compleja s = σ + jω, la bobina pasa a ser sL y el condensador 1/sC. Con s = jω (σ=0) se vuelve tal cual al régimen sinusoidal, y si s tiene parte real σ, los transitorios que crecen o se apagan caben en la misma impedancia. Una resistencia no depende de la frecuencia, así que sigue siendo R, y esta única extensión permite tratar el régimen permanente y los transitorios con el mismo lenguaje.
El circuito es un divisor en s
Vistos con impedancias generalizadas, dos elementos en serie siguen siendo un divisor de tensión. Si tomas la salida de un RC pasa bajas en el condensador, H(s) = Vout/Vin = Z_C/(Z_R + Z_C) = (1/sC)/(R + 1/sC). Multiplicando numerador y denominador por sC queda H(s) = 1/(1 + sRC), así que una línea de división de tensión es la función de transferencia del circuito. Aunque metas una bobina como sL, o el circuito sea más complicado, las divisiones y combinaciones escritas con impedancias siguen construyendo H(s).
Una expresión, tres caras
La función de transferencia H(s) = 1/(1+sRC) se lee de tres maneras. Primero, en s = 0 (DC), H = 1, así que la ganancia en continua es 1 y las señales que cambian despacio pasan tal cual. Segundo, con s = jω queda H(jω) = 1/(1+jωRC), una respuesta en frecuencia pasa bajas cuya magnitud se dobla a 1/√2 en ω = 1/RC. Tercero, el polo que hace 0 el denominador, s = −1/RC, fija el transitorio: al cerrar el interruptor, la diferencia entre la salida y su valor final se reduce como e^(−t/RC). La misma expresión reúne la ganancia en DC, el corte en frecuencia y la constante de tiempo del transitorio, de modo que la posición de un solo polo comprime todo el comportamiento del circuito. En el gráfico, el semiplano izquierdo sombreado suave es la región estable, donde los transitorios se apagan.
De vuelta a la primera pantalla
Al deslizar la constante de tiempo τ, el polo s = −1/τ se movió por el eje real negativo y con τ = 0,5 llegó al objetivo s = −2 del círculo discontinuo. Ese único polo fijó dos cosas a la vez: en el tiempo, la rapidez del transitorio con que la salida se asienta según e^(−t/τ), y en la frecuencia, el corte que se dobla en ω = 1/τ. Gracias a extender jω a s y ver el condensador como 1/sC, el RC pasa bajas se escribió como una línea de división de tensión, H(s) = 1/(1+sτ), y esa única expresión reunió a la vez la ganancia en DC, la respuesta en frecuencia y el transitorio.