Polos en el plano s y estabilidad
¿De qué lado del eje imaginario está el polo?
Desliza la parte real σ del polo. A la izquierda la respuesta se desvanece; a la derecha crece sin límite. Encuentra la frontera entre estable e inestable, el eje imaginario σ = 0.
El polo es el plano de la respuesta temporal
Bajo la transformada de Laplace, la derivada d/dt se vuelve multiplicación por s. Así la ecuación diferencial de un circuito pasa a ser algebraica en s, y los valores de s que anulan su denominador son los polos. Cada polo s = σ + jω origina una pieza de la respuesta en el tiempo, e^(σt)cos(ωt). El comportamiento natural de todo el circuito es la suma de tales piezas.
La parte real decide vivir o morir
En la pieza e^(σt)cos(ωt), el coseno solo oscila entre −1 y 1; lo que agranda o encoge la amplitud es el e^(σt) de delante. Si σ es negativo esta envolvente converge a cero y la respuesta se apaga (estable); si σ es positivo la envolvente crece sin límite y diverge (inestable). Si σ es exactamente cero la envolvente se queda en uno, así que la oscilación ni mengua ni crece: el estado frontera.
La parte imaginaria es el ritmo de oscilación
La parte imaginaria ω del polo fija cuán rápido oscila la respuesta. Un ω grande repica deprisa; ω = 0 significa sin oscilación, solo una exponencial. Así que solo con la ubicación (σ, ω) de un par de polos puedes leer de un vistazo si el circuito es estable (¿está a la izquierda?) y cuánto oscila (¿qué tan lejos del eje imaginario?). La respuesta jω en régimen permanente es el caso especial de colocar el polo sobre el eje imaginario.
De vuelta a la primera pantalla
Con el polo a la izquierda, la respuesta temporal oscilaba pero se apagaba poco a poco; al moverlo a la derecha, la misma oscilación creció sin control. En el eje imaginario σ = 0 la oscilación ni menguaba ni crecía: la frontera. La gran pregunta de la estabilidad de un circuito quedó comprimida en una sola cosa: de qué lado del plano está el polo.