Polos en el plano s y estabilidad
¿De qué lado del eje imaginario está el polo?
A la izquierda está el plano complejo con un par de polos marcados, y a la derecha la respuesta temporal que esos polos producen. Al cambiar la parte real del polo σ, a la izquierda del eje imaginario la respuesta oscila y se va apagando, mientras que a la derecha crece sin control. Busca la frontera entre lo estable y lo inestable, el eje imaginario σ = 0.
El polo es el plano de la respuesta temporal
Con la transformada de Laplace, la derivada d/dt se convierte en multiplicación por s. Así, la ecuación diferencial del circuito pasa a ser una ecuación algebraica en s, y los valores de s que anulan el denominador, es decir, que lo hacen 0, son los polos. Cada polo, s = σ + jω, genera en el dominio del tiempo un trozo de respuesta, e^(σt)cos(ωt). El comportamiento natural de todo el circuito es la suma de esos trozos.
La parte real decide vivir o morir
En el trozo de respuesta e^(σt)cos(ωt), el cos solo va y viene entre −1 y 1; lo que agranda o achica la amplitud es el e^(σt) de delante. Si σ es negativo, esa envolvente converge a 0 y la respuesta se apaga (estable); si σ es positivo, la envolvente crece sin límite y la respuesta diverge (inestable). Si σ vale exactamente 0, la envolvente se mantiene en 1 y se llega a un estado frontera en que la oscilación ni disminuye ni crece.
La parte imaginaria es el ritmo de oscilación
La parte imaginaria del polo, ω, fija la rapidez con que oscila la respuesta. Un ω grande da una oscilación rápida, y un ω igual a 0 hace que la respuesta cambie solo de forma exponencial, sin oscilar. Por eso, con solo ver la posición (σ, ω) de un par de polos se lee de un vistazo si el circuito es estable, es decir, si los polos quedan a la izquierda del eje imaginario, y cuánto oscila. Esta gráfica fija ω en 6 rad/s y solo mueve σ. La respuesta jω del régimen senoidal permanente es el caso particular de llevar un polo al eje imaginario.
De vuelta a la primera pantalla
Con los polos a la izquierda, la respuesta temporal oscilaba y aun así se iba apagando; al moverlos a la derecha, la misma oscilación creció sin control. En el eje imaginario, σ = 0, quedaba en la frontera, donde la oscilación ni disminuía ni crecía. La gran pregunta de si un circuito es estable quedó reducida a una sola cosa: de qué lado del plano están sus polos.