CM · Ruido e información

Probabilidad y señales aleatorias

Nadie puede decir de antemano qué valor tomará una muestra de ruido. Sin embargo, si se reúnen muchas en un histograma, siempre se agrupan en la misma forma de campana. En esta unidad verás que los valores sueltos son aleatorios pero el conjunto es predecible, y que su distribución queda fijada por dos números: la media y la varianza.

Cuantas más muestras, más clara la campana

Las barras azules son un histograma que apila las muestras según su tamaño, y la curva dorada es la distribución normal teórica. Cambia la pestaña de número de muestras de pocas a muchas: las barras, irregulares cuando solo hay unas cuantas, se ajustan cada vez mejor a la curva dorada a medida que se acumulan muestras. La línea vertical tenue del centro marca la media.

Número de muestras y convergencia

N = 16 → μ = 0, σ² = 1

Estimación tosca

Un valor es desconocido

Nadie puede predecir cuánto valdrá la siguiente muestra de ruido. Cualquier intento de atrapar el ruido en un solo valor está condenado a fallar, pero ser aleatorio no significa no tener leyes. Un mismo valor no sale dos veces, y aun así la frecuencia con que aparece cada rango de valores es asombrosamente regular.

Apílalas y aparece una campana

Si se reúnen unos cientos de muestras y se apilan en casillas según su tamaño, aparece una campana, alta en el centro y baja en los extremos. Con pocas muestras las barras son toscas; al crecer el número se acercan a una curva suave. Esa curva es la distribución normal, o gaussiana. Una magnitud formada por muchas fluctuaciones aleatorias pequeñas sumadas, como el ruido térmico, toma casi siempre esta forma de campana, y las muestras de la gráfica se obtienen precisamente sumando tres números aleatorios repartidos uniformemente.

Observa∫ p(x) dx = 1

El área total bajo una curva de densidad de probabilidad es 1.

Eligeμ = E[X] = ?

El ruido tiene media 0, así que no se inclina hacia ningún lado.

Media y varianza, dos números bastan

Dos números fijan por completo la curva de campana. La media μ indica dónde está centrada y la varianza σ² indica cuánto se extiende. El ruido suele tener media 0, así que no se inclina hacia ningún lado, y su varianza es igual a su potencia media. La probabilidad de que un valor caiga en un intervalo es el área bajo la curva sobre ese intervalo, y el área total bajo la curva es siempre 1. Sin conocer ninguna muestra concreta, conocer estos dos números pone todo el conjunto en la mano.

Completaσ² = E[(X ? μ)²]

La varianza es la media del cuadrado de la desviación respecto a la media.

Por tu cuentaP_avg = ?

La potencia media es justamente la varianza σ².

De vuelta a la primera pantalla

Con dieciséis muestras las barras eran irregulares y no encajaban con la campana dorada, pero con novecientas el histograma se ajustó a la curva sin huecos. Mientras tanto, cada muestra seguía siendo igual de impredecible. Hay que recordar una cosa: un valor aleatorio suelto no se puede conocer, pero el conjunto forma siempre la misma campana, y esa campana queda atrapada por completo con solo dos números, la media que fija su centro y la varianza que fija su anchura.

Los valores de una señal aleatoria no se pueden predecir uno a uno, pero en conjunto siguen una distribución de probabilidad. El ruido térmico sigue la distribución normal (gaussiana), con forma de campana, fijada por completo por dos números: la media μ, que fija el centro (0 en el ruido), y la varianza σ² (= potencia media), que fija la anchura. La probabilidad de un intervalo es el área bajo la curva de densidad sobre él, y el área total es 1. Esta descripción estadística es la que permite tratar el ruido mediante cálculos.

En la próxima unidad

El ruido ya se puede medir como distribución y su intensidad como varianza. El cociente entre potencia de señal y de ruido, la SNR, también está a mano. La siguiente unidad es la capacidad de canal de Shannon, que lo une todo. Dados solo el ancho de banda y la SNR, el techo de la tasa de bits que puede cruzar el canal sin errores queda fijado de una vez por C = B log₂(1 + SNR).