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CM · Modulación digital

Muestreo y PCM

Al muestrear una señal continua a intervalos regulares, la curva desaparece y solo quedan unos cuantos puntos. Aun así, si la frecuencia de muestreo supera el doble de la frecuencia máxima de la señal, esos puntos bastan para reconstruir la señal original tal cual. En esta unidad verás también por qué un muestreo demasiado lento disfraza una frecuencia alta de falsa frecuencia baja.

¿Pueden unos pocos puntos devolver la señal?

La curva azul tenue es la señal original, los puntos brillantes son las muestras y la curva gruesa es la señal reconstruida solo a partir de las muestras. Al subir la frecuencia de muestreo los puntos se apiñan; hasta que supera el doble de la frecuencia de la señal, la curva gruesa se dibuja como una senoide lenta y falsa que pasa por las muestras, y sale roja. Desde el momento en que supera el doble, la curva dorada cae exactamente sobre la original.

Frecuencia de muestreo fsfs = 1.14 × f0
El valor de la derecha indica cuántas veces cabe la frecuencia de la señal en la frecuencia de muestreo. fs = 2 f0 es la frontera de Nyquist.
Tasa frente al límite de Nyquist
fs < 2 f0 → Aliasing
Aliasing

Las muestras son puntos

Muestrear es leer una señal continua una vez en cada intervalo fijo de tiempo y anotar solo ese valor. La curva suave queda reducida a los pocos puntos brillantes de la gráfica. Surge entonces una duda natural: si se ha tirado todo lo que hay entre punto y punto, ¿cómo se puede recuperar la curva original?

Nyquist: más rápido que el doble

El teorema de muestreo da la respuesta. Si la frecuencia máxima de una señal es fmax, muestrear con fs > 2 fmax permite restaurar la original a la perfección solo con las muestras, y ese valor frontera 2 fmax se llama tasa de Nyquist. Si la frecuencia de muestreo se queda corta, las componentes cercanas a fmax se pliegan hacia la banda por debajo de fs/2 y parecen una senoide más lenta que pasa por las mismas muestras. Ese cambio de identidad es el aliasing, y una vez plegada la señal, las muestras por sí solas no ofrecen forma de recuperar su frecuencia verdadera.

Observafs > 2 fmax
La frecuencia de muestreo debe superar el doble de la frecuencia máxima.
Eligefa = | fs ? f0 |
Si el muestreo se queda corto, la frecuencia aparente se pliega hacia abajo.

PCM: cuantizar y codificar

Las muestras siguen siendo valores continuos, así que no se pueden escribir en bits tal como están. PCM primero cuantifica cada valor, redondeándolo al más cercano de L niveles, y luego codifica cada nivel con n = log₂ L bits. Como muestrea fs veces en 1 segundo, la tasa de bits es R = n fs. El error que deja el redondeo es el ruido de cuantificación, y disminuye al aumentar el número de niveles L, es decir, al gastar más bits. Cortar finamente el tiempo con el muestreo y el valor con la cuantificación para convertir la señal en números: eso es PCM.

Completan = log₂ ?
Para escribir L niveles hacen falta log₂ L bits por muestra.
Por tu cuentaR = ? (bit/s)
La tasa de bits es el número de bits por muestra por la frecuencia de muestreo.

De vuelta a la primera pantalla

Al subir la frecuencia de muestreo, los puntos se apiñaron, y en cuanto superó el doble de la frecuencia de la señal la curva reconstruida se posó sobre la original y se volvió dorada. Por debajo, aparecía una senoide más lenta que pasaba por las mismas muestras y se disfrazaba en rojo. Del muestreo hay que recordar una cosa: tirar lo que hay entre los puntos no pierde nada mientras fs > 2 fmax, y romper esa frontera pliega las frecuencias altas en falsas frecuencias bajas que ya no se pueden deshacer.

El muestreo lee una señal continua a intervalos regulares fijados por la frecuencia de muestreo fs. Según el teorema de muestreo, cuando fs > 2 fmax las muestras solas restauran la original a la perfección, y la frontera 2 fmax es la tasa de Nyquist. Con una frecuencia de muestreo insuficiente, las frecuencias altas se pliegan por debajo de fs/2 y se produce aliasing. PCM cuantifica cada muestra en L = 2ⁿ niveles y la codifica con n = log₂ L bits, con una tasa de bits R = n fs.

En la próxima unidad

El mensaje ya es un flujo de bits. La siguiente cuestión es cómo esos bits sacuden una portadora. Encender y apagar la amplitud de la portadora según los bits da ASK, alternar la frecuencia entre dos valores da FSK, e invertir la fase da PSK. La siguiente unidad pone esas tres ramas de la modulación digital una junto a otra.