Capacidad de canal y Shannon
¿Este canal aguanta la tasa objetivo?
Varía el SNR. Cuando la curva de capacidad C/B = log₂(1 + SNR) se eleva sobre la tasa objetivo punteada, esa tasa puede enviarse sin error (dorado); mientras quede por debajo, ningún código lo logra (rojo).
¿La astucia da velocidad infinita?
Si el ruido invierte bits, puedes enviar cada bit varias veces o añadir un código ingenioso para recortar los errores. Entonces, si el código es bastante intrincado, ¿puede cualquier canal ruidoso hacerse tan rápido y exacto como quieras? La respuesta de Shannon en 1948 fue asombrosa. No — hay un techo rígido. Pero por debajo de ese techo el error puede llevarse tan cerca de cero como se desee.
La fórmula de Shannon
El valor del techo se escribe en una línea: C = B log₂(1 + SNR). Aquí C es el máximo de bits por segundo enviables sin error, B el ancho de banda, SNR la relación señal-ruido. Ni el esquema de modulación ni el tipo de código aparecen en ella. La capacidad de un canal la fijan solo dos números, ancho de banda y SNR. Si la tasa Rb está por debajo de C, un código adecuado puede enviarla con fiabilidad arbitraria; si Rb supera C, ningún método evita los errores.
El canje — ancho de banda y potencia
Hay dos modos de subir la capacidad: ensanchar el ancho de banda B, o aumentar la potencia para subir el SNR. Pero actúan distinto. B va delante de la fórmula linealmente, así que doblarlo dobla la capacidad; el SNR va dentro del logaritmo, así que ganar un bit más exige casi doblar el SNR. La potencia rinde cada vez menos rápido, el ancho de banda sigue pagando. Así que cuando la potencia escasea ensanchas la banda, y cuando la banda escasea viertes potencia. Aun con ancho de banda ilimitado, queda un mínimo de energía por bit que no puede superarse.
De vuelta a la primera pantalla
Con SNR bajo la curva de capacidad quedaba bajo la tasa objetivo, y esa tasa era roja — enviable por ningún código. Al subir el SNR la curva trepó despacio, cruzó el objetivo y se volvió dorada. Como la curva es un logaritmo, cada paso más costaba cada vez más SNR. Lo único que hay que oír en capacidad de canal es esto: el techo absoluto de la comunicación sin error lo fijan solo el ancho de banda y el SNR en C = B log₂(1 + SNR) — todo lo de debajo es posible, todo lo de encima imposible.
En la próxima unidad
Shannon prometió que el error puede llevarse cerca de cero por debajo de C, pero no cómo. La última unidad es el cómo: la codificación de errores. Añade bits extra al mensaje por una regla fija y, aunque el ruido invierta unos cuantos, el receptor usa esos extras para notar la discrepancia y corregirla. Empezamos con un solo bit de paridad y vemos cómo se detectan y corrigen los errores.