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CM · Modulación digital

Ancho de banda y tasa de símbolo

Cada símbolo cuesta tiempo y también ancho de banda. Dentro de un ancho de banda B dado, por mucha prisa que haya, no caben más de 2B símbolos en 1 segundo. En esta unidad verás de dónde sale ese techo de Nyquist y por qué enviar más bits obliga a hacer los símbolos más pesados en lugar de más rápidos.

¿Cuánto se pueden apretar los símbolos?

Cada joroba tenue es un pulso de símbolo, y la curva gruesa es la forma de onda recibida, la suma de todos los pulsos. Al subir la tasa de símbolo, la separación entre pulsos se reduce, pero el ancho de cada pulso lo fija el ancho de banda y no cambia. Por eso, cuando Rs supera 2B, los pulsos se solapan, la onda recibida se emborrona en un solo bulto y se vuelve roja.

Tasa de símbolo RsRs = 1.50 × 2B
Rs = 2B es el techo de Nyquist. El valor de la derecha indica cuántas veces ese techo es la tasa de símbolo, y el valor inicial está por encima, en rojo.
Tasa de símbolo frente al techo de Nyquist
Rs > 2B → ISI
ISI · solape

Los símbolos ocupan tiempo

Enviar un símbolo exige una casilla de tiempo Ts, y la tasa de símbolo, el número de símbolos enviados en 1 segundo, es Rs = 1/Ts. Para ir más rápido parece suficiente estrechar las casillas y juntar más los pulsos. Pero los pulsos no se pueden juntar sin límite, porque cuanto más corto es un pulso, más ancha es la banda de frecuencias que ocupa.

Nyquist: el ancho de banda pone el techo

El teorema de señalización de Nyquist fija la altura de ese techo. En un canal de ancho de banda B solo se pueden enviar como máximo 2B símbolos por 1 segundo sin que interfieran entre sí. Si la tasa sube por encima, los pulsos vecinos se derraman en las casillas de tiempo ajenas, y el receptor recoge parte del símbolo siguiente mientras lee el actual. Ese derrame se llama interferencia entre símbolos (ISI), y cuando los pulsos se han emborronado en un solo bulto, los bits ya no se pueden recuperar.

ObservaRs ≤ 2B
Dentro del ancho de banda B, la tasa de símbolo no puede superar 2B.
EligeRb = Rs · log₂ ?
Se multiplica la tasa de símbolo por log₂ M bits por símbolo.

Más bits hacen símbolos más pesados

Con la tasa de símbolo atascada en 2B, la única forma de llevar más bits en la misma banda es cargar más bits en cada símbolo. Un esquema M-ario lleva log₂ M bits por símbolo, así que la tasa de bits es Rb = Rs log₂ M. La eficiencia por 1 hercio, η = Rb/B, puede llegar hasta 2 log₂ M. El precio es que un M mayor aprieta los puntos de señal y exige una relación señal a ruido más alta, y más allá está el techo que fijó Shannon, que nada puede cruzar.

Completaη = Rb / ? (bit/s/Hz)
La eficiencia es la tasa de bits dividida entre el ancho de banda.
Por tu cuentaC = B log₂(1 + ?)
El techo más alto es la capacidad de Shannon, que se trata en una unidad posterior.

De vuelta a la primera pantalla

Al subir la tasa de símbolo, los pulsos se acercaron cada vez más, y en cuanto Rs pasó de 2B se solaparon y la onda recibida se emborronó en un bulto rojo de ISI. Justo por debajo de 2B los pulsos seguían bien separados y a la vez llenaban la banda sin desperdicio, en dorado; al bajar demasiado la tasa se abrían huecos entre pulsos y la banda se desperdiciaba, en naranja. Hay que recordar una cosa: el ancho de banda fija el techo de la tasa de símbolo, 2B, así que los bits extra se consiguen haciendo los símbolos más pesados, no enviándolos más deprisa.

Según la tasa de señalización de Nyquist, la tasa de símbolo de un canal de ancho de banda B no puede superar Rs ≤ 2B. Más rápido, los pulsos se solapan y aparece la interferencia entre símbolos (ISI). La tasa de bits multiplica por los bits por símbolo, Rb = Rs log₂ M, y la eficiencia espectral es η = Rb/B ≤ 2 log₂ M. Para llevar más bits en la misma banda hay que aumentar M y hacer los símbolos más pesados; el precio es una SNR más alta y el límite absoluto es la capacidad de Shannon.

En la próxima unidad

Tanto al hacer los símbolos más pesados como al evitar la ISI aparecía una y otra vez la misma magnitud: la relación señal a ruido, SNR. La siguiente unidad empieza por ver qué es ese ruido. Sigue de dónde viene el ruido térmico, qué significa el cociente entre potencia de señal y potencia de ruido, y por qué ese cociente fija los límites de la comunicación.