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Mis palabras

Integral definida y series

Definite Integrals & Series

Cuando quieres el área bajo una curva, el primer paso es cortar el intervalo en muchos rectángulos finos y sumarlos todos. Cuantos más rectángulos uses, más se ciñe la escalera dentada a la curva, y llevar su número al infinito da exactamente la integral definida. Por eso, cambiar el k/n de dentro de la suma por x y el 1/n de delante por dx convierte un límite enredado en una sola integral. Aumenta el número de rectángulos n y su área total se acerca al valor de la integral, 1/3.

Corta fino, suma y obtén el área

6
👀 Velo
①Divide el intervalo en n partes y suma todas las áreas de los rectángulos
②Al crecer n la escalera se ciñe a la curva
③En el límite la suma es exactamente la integral definida (área) — esto es la suma de Riemann

La suma de Riemann

El corazón de la suma de Riemann
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
1/n es el ancho (Δx), k/n la posición (x) — el límite de la suma es la integral
Intervalo general [a,b]
limn→∞ ∑k=1n f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫ab f(x) dx
Rectángulos de ancho (b−a)/n en la posición a+(b−a)k/n

Convertir la suma límite en integral

🔁 Regla de sustitución
①Reemplaza k/n por x
②Reemplaza 1/n por dx
③La suma sobre k=1..n se vuelve la integral de 0 a 1
④Hasta las sumas límite enredadas colapsan a una integral con esta regla
⑤1/n es solo para [0,1]. El ancho general es (b−a)/n

Calcúlalo directamente

Ejemplo 1
Halla limn→∞ 1n ∑k=1n kn.
1
Reemplaza k/n por x y 1/n por dx.
= ∫01 x dx
2
Evalúa la integral.
= [x22]01 = 12
▸ 1/2
Ve el k/n interior como la variable x y el 1/n delante como dx — listo.
Ejemplo 2
Halla limn→∞ 1n ∑k=1n (kn)2.
1
Convierte a integral con la misma regla.
= ∫01 x2 dx
2
Al evaluar queda
= [x33]01 = 13
▸ 1/3
(k/n)² es x², 1/n es dx — las potencias no cambian la regla.

Resumen

Resultado clave
limn→∞ 1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
La suma de infinitos rectángulos = la integral definida (área)
tipo de examen
Halla limn→∞ 1n ∑k=1n √(k/n).
①1/2
②2/3
③3/4
④1
⑤Diverge
▸ ② 2/3
1
Reemplazar k/n→x y 1/n→dx da una integral.
= ∫01 √x dx
2
Integra x1/2.
= [23 x3/2]01 = 23
🎯 Puntos de examen
①Ver 1/n·Σf(k/n) significa ∫₀¹f(x)dx de inmediato
②La sustitución k/n→x, 1/n→dx es clave
③Raíces y potencias no cambian la regla
④Intervalo general: ancho (b−a)/n, posición a+(b−a)k/n
⑤1/n es solo para [0,1]. El ancho general es (b−a)/n
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