Para hallar el área bajo una curva se empieza cortando el intervalo en franjas finas, llenándolas con rectángulos y sumándolos todos.
Cuantos más rectángulos se usan, más se pega la escalera a la curva, y el límite cuando su número crece sin fin es la integral definida.
Así, cambiando el k/n de dentro de la suma por x y el 1/n de delante por dx, un límite complicado se convierte en una sola integral.
En el dibujo, al aumentar el número de rectángulos n, su suma se acerca al valor de la integral, 1/3.
Área a base de sumar franjas finas
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f(x) = x² en [0, 1] rellena con n rectángulos (cada uno tan alto como la función en el extremo derecho de su franja); arriba, la suma Σ y el límite 1/3
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👀 Qué leer en el dibujo
①Se divide [0, 1] en n partes iguales y se suman las áreas de los rectángulos
②Al usar la altura del extremo derecho, la suma siempre es algo mayor que 1/3
③Al crecer n, la escalera se pega a la curva y la suma se acerca a 1/3
④Esta forma de hallar áreas se llama suma de Riemann
La suma de Riemann
La fórmula clave
limn→∞1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
1/n es la anchura (Δx) y k/n la posición (x); el límite de la suma es la integral definida
Un intervalo general [a, b]
limn→∞ ∑k=1n f(a + (b−a)kn)·b−an = ∫ab f(x) dx
La suma de rectángulos de anchura (b − a)/n en las posiciones a + (b − a)k/n
Pasar de un límite de sumas a una integral
🔁 La regla de sustitución
①Se cambia k/n por x
②Se cambia 1/n por dx
③La suma de k = 1 a n pasa a ser la integral de 0 a 1
④Si el intervalo no es [0, 1], se usan la anchura (b − a)/n y la posición a + (b − a)k/n
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Halla limn→∞1n ∑k=1nkn.
1
Se cambia k/n por x y 1/n por dx.
= ∫01 x dx
2
Se calcula la integral definida.
= [x22]01 = 12
▸ 1/2
Suma rectángulos de anchura 1/n y altura k/n, así que es igual al área del triángulo bajo y = x de 0 a 1, que vale 1/2.
Ejemplo 2
Halla limn→∞1n ∑k=1n (kn)2.
1
Se pasa a integral definida con la misma regla.
= ∫01 x2 dx
2
Se calcula la integral definida.
= [x33]01 = 13
▸ 1/3
(k/n)² pasa a ser x² y 1/n pasa a ser dx. El dibujo muestra justamente esta suma, que se acerca a 1/3 al crecer n.
Resumen
Idea clave
limn→∞1n ∑k=1n f(kn) = ∫01 f(x) dx
La suma de infinitos rectángulos = la integral definida (el área)
Tipo de examen CSAT 2020 Mat. (Cálculo), adaptado
Halla limn→∞1n ∑k=1n √(k/n).
①1/2
②2/3
③3/4
④1
⑤Diverge
▸ ② 2/3
1
Al cambiar k/n por x y 1/n por dx, queda una integral definida.
= ∫01 √x dx
2
Se integra √x = x1/2.
= [23 x3/2]01 = 23
🎯 Puntos de examen
①(1/n) Σ f(k/n) se convierte en la integral de f(x) de 0 a 1
②La clave es k/n → x y 1/n → dx
③La regla es la misma con raíces o potencias
④En un intervalo general se usan la anchura (b − a)/n y la posición a + (b − a)k/n
⑤1/n pasa a ser dx solo si el intervalo tiene longitud 1