중2 수학›유리수와 순환소수

유리수와 순환소수

Rational Numbers & Repeating Decimals

직관 도입 — 나누면 뭐가 나올까?

분모 n3

👀 나눗셈의 비밀

①1 ÷ 3 = 0.333... → 3이 끝없이 반복된다

②1 ÷ 7 = 0.142857142857... → 6자리가 반복

③분모를 바꿔보며 어떤 숫자가 '유한'이고 어떤 것이 '순환'인지 관찰해보자

유한소수 vs 순환소수

🔑 유한소수가 되려면?

①분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 있으면 → 유한소수

②그 외의 소인수가 있으면 → 순환소수

③예: 1/8 = 1/2³ → 유한, 1/6 = 1/(2×3) → 순환

유한소수 판별법

분모의 소인수 = 2^a × 5^b 일 때만 유한소수

기약분수로 약분한 뒤, 분모에 2와 5 외의 소인수가 없어야 한다

순환소수를 분수로 바꾸기

순환마디 숫자1

한 자리 순환소수 → 분수

0.\overline{a} = a9

순환마디가 한 자리면 분모는 9

두 자리 순환소수 → 분수

0.\overline{ab} = ab99

순환마디가 두 자리면 분모는 99

혼합 순환소수 변환

혼합 순환소수 공식

0.a\overline{b} = ab - a90

순환하지 않는 부분과 순환하는 부분을 분리하여 계산

📝 변환 원리

①x = 0.1666... 이라면

②10x = 1.666..., 100x = 16.666...

③100x - 10x = 15 → 90x = 15 → x = 15/90 = 1/6

시험 포인트 정리

순환소수 → 분수 핵심

순환마디 n자리 → 분모에 9를 n개

순환하지 않는 자릿수만큼 분모에 0 추가

🎯 시험 포인트

①유한소수 판별: 기약분수의 분모 소인수가 2, 5뿐인지 확인

②순환소수 표기: 순환마디 양 끝 숫자 위에 점(·) 표시

③순환소수 → 분수: 10^n배 빼기법 활용

④모든 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 표현 가능

⑤무한소수 중 순환하지 않는 것 = 무리수 (중3 내용)