수학Ⅰ›수열

수학적 귀납법

Mathematical Induction

도미노 효과 — 귀납법의 직관
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💡 도미노와 귀납법의 핵심 비유
①첫 번째 도미노를 넘어뜨린다 (n=1 확인)
②하나가 쓰러지면 다음도 쓰러진다 (k → k+1)
③이 두 조건만 있으면 모든 도미노가 쓰러진다
④이것이 수학적 귀납법의 핵심 아이디어!
증명의 구조 — 3단계
📐 각 단계의 역할
①1단계 (기저): n=1일 때 직접 성립을 보인다
②2단계 (가정): n=k일 때 성립한다고 가정한다
③3단계 (증명): 가정을 이용하여 n=k+1일 때도 성립함을 보인다
④세 단계를 모두 완료하면 모든 자연수에 대해 증명 완료
예제: 1+2+...+n = n(n+1)/2 증명
1단계: n=1
좌변 = 1, 우변 = 1×22 = 1 ✓ 성립
n=1일 때 양변이 같음을 직접 확인
2단계: n=k 가정
1+2+...+k = k(k+1)2 (가정)
n=k일 때 성립한다고 가정
3단계: n=k+1 증명
1+2+...+k+(k+1) = k(k+1)2 + (k+1) = (k+1)(k+2)2
가정을 이용하여 k+1일 때도 성립함을 보임
✅ 증명 완료!
①n=1일 때 성립 확인 ✓
②n=k 성립 가정 → n=k+1 성립 증명 ✓
③따라서 모든 자연수 n에 대해 1+2+...+n = n(n+1)/2
귀납법 활용 팁
⚠️ 자주 하는 실수
①기저 단계(n=1)를 빠뜨리면 증명이 성립하지 않는다
②가정 단계에서 '증명할 것'을 가정으로 써야 한다
③k+1 단계에서 가정(k일 때)을 반드시 사용해야 한다
④가정을 사용하지 않으면 귀납법이 아니다
📐 귀납법이 필요한 상황
①자연수 n에 대한 등식/부등식 증명
②수열의 합 공식 증명
③나눗셈 관련 명제 (3^n - 1은 2의 배수)
④기하학적 성질 (n각형 내각의 합)
총정리
수학적 귀납법
P(1) 성립 ∧ [P(k) → P(k+1)] ⟹ ∀n∈ℕ, P(n)
기저 + 귀납 단계 → 모든 자연수에 대해 성립
🎯 시험 포인트
①3단계 구조: 기저(n=1) → 가정(n=k) → 증명(n=k+1)
②기저 단계를 절대 생략하지 말 것
③귀납 단계에서 가정을 반드시 활용
④부등식 귀납법: k+1일 때 좌변을 변형하여 가정 대입
⑤n=1이 아닌 n=2부터 시작하는 경우도 있음