수학Ⅰ›지수함수와 로그함수

로그함수

Logarithmic Function

로그함수의 모양 — 밑에 따른 변화

밑 a2

💡 모든 로그함수는 (1, 0)을 지난다

①log_a(1) = 0이므로 밑이 무엇이든 x=1에서 y=0

②밑이 클수록 곡선이 아래로 눌린다

③x → 0⁺ 일 때 y → -∞ (y축이 점근선)

지수함수와의 대칭

🔗 역함수 관계

①y = a^x의 역함수가 y = log_a(x)

②그래프는 y = x 직선에 대해 대칭

③정의역과 치역이 서로 뒤바뀐다

④(0, 1) ↔ (1, 0) 대칭

로그함수의 성질

로그함수 정의

y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

정의역: x > 0, 치역: 모든 실수

로그함수 성질

log_a 1 = 0, log_a a = 1

(1, 0)을 지나고, (a, 1)을 지난다

📐 증감과 점근선

①a > 1: x가 커질수록 y 증가 (증가함수)

②0 < a < 1: x가 커질수록 y 감소 (감소함수)

③점근선: y축 (x = 0)

④x < 0에서는 정의되지 않음

로그방정식과 부등식

로그방정식

log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x)

밑이 같으면 진수끼리 비교 (단, 진수 > 0 확인)

⚠️ 로그부등식의 핵심

①a > 1일 때: log_a M > log_a N ⟺ M > N (부등호 유지)

②0 < a < 1일 때: log_a M > log_a N ⟺ M < N (부등호 반전)

③반드시 진수 조건 (> 0) 확인!

총정리

로그함수 핵심

y = log_a x: 정의역 = (0, ∞), 치역 = ℝ, 점근선: x = 0

지수함수의 역함수, y = x 대칭

🎯 시험 포인트

①(1, 0) 통과: log_a 1 = 0

②a > 1이면 증가, 0 < a < 1이면 감소

③역함수 관계: y = a^x ↔ y = log_a x

④로그방정식: 밑 통일 → 진수 비교

⑤진수 > 0 조건을 반드시 검증