공통수학›도형의 방정식

도형의 이동

Geometric Transformation

평행이동 — 모양은 유지, 위치만 변경
📦 택배 상자를 옮기는 것과 같다
①상자의 모양, 크기, 방향은 그대로
②위치만 바뀐다 — 이것이 '평행이동'
③수학적으로는 모든 점에 같은 벡터 (a, b)를 더한다
④도형 전체가 '미끄러지듯' 이동한다
2
1
점의 평행이동
(x, y) → (x + a, y + b)
모든 점에 동일한 벡터 (a, b)를 더한다
방정식의 평행이동 — 왜 부호가 반대?
도형의 방정식 평행이동
f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0
점은 +a, +b인데 방정식에는 −a, −b를 대입
🤔 핵심 질문: 왜 빼기(−)일까?
①이동 후 도형 위의 점을 (X, Y)라 하자
②이 점은 원래 도형의 (X−a, Y−b) 위치에 있었다
③원래 도형은 f(x,y)=0을 만족하므로
④f(X−a, Y−b) = 0이 이동된 도형의 방정식
⑤즉, '새 좌표에서 이동량을 빼면 원래 위치를 찾을 수 있다'
예: 원의 평행이동
x² + y² = r² → (x−a)² + (y−b)² = r²
원점 중심 → (a, b) 중심으로 이동
예: 포물선의 평행이동
y = x² → y − b = (x − a)²
꼭짓점이 (0,0)에서 (a,b)로 이동
대칭이동 — 거울에 비친 모습

대칭이동 공식

📋4가지 대칭이동
x축 대칭
y좌표만 부호 반전
(x, y) → (x, −y)
y축 대칭
x좌표만 부호 반전
(x, y) → (−x, y)
원점 대칭
x, y 모두 부호 반전
(x, y) → (−x, −y)
y=x 대칭
x와 y를 교환
(x, y) → (y, x)
💡 대칭의 원리
①x축 대칭: x축을 거울로 → 위아래가 바뀜 → y 부호 반전
②y축 대칭: y축을 거울로 → 좌우가 바뀜 → x 부호 반전
③원점 대칭: 원점을 중심으로 180° 회전 → 둘 다 반전
④y=x 대칭: 45° 대각선 거울 → x와 y가 역할 교환 (역함수!)
이동의 합성 — 순서가 중요할까?
🔗 합성 변환의 규칙
①평행이동 + 평행이동: 벡터를 더하면 됨 (순서 무관)
②대칭 + 대칭: x축 대칭 후 y축 대칭 = 원점 대칭
③평행이동 + 대칭: 순서에 따라 결과가 달라진다!
④시험 문제: '(2,3)을 x축 대칭 후 (1,−2)만큼 평행이동' → 한 단계씩 순서대로!

합성 대칭

📊대칭이동 합성 결과
합성결과동치 변환
x축 → y축(x,y)→(−x,−y)원점 대칭
y축 → x축(x,y)→(−x,−y)원점 대칭
x축 → y=x(x,y)→(−y,x)90° 반시계 회전
y=x → x축(x,y)→(y,−x)90° 시계 회전
총정리
점 이동
(x+a, y+b)
점은 더하기
방정식 이동
f(x−a, y−b)=0
방정식은 빼기
🎯 시험 포인트
①점 이동: (x+a, y+b) / 방정식: f(x−a, y−b)=0 — 부호 반대!
②x축 대칭 → y에 −y 대입 / y축 대칭 → x에 −x 대입
③y=x 대칭 → x↔y 교환 (역함수 관계의 핵심!)
④원의 평행이동: 중심 좌표에 이동 벡터를 더한다
⑤합성 변환: 한 단계씩 순서대로 적용 (순서 바꾸면 결과 다름!)