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공간도형과 공간좌표
공간좌표
Space Coordinates
3차원 좌표계
공간 위의 점 P(x,y,z)와 좌표축으로의 정사영
x좌표
3
y좌표
4
z좌표
2
👀 공간 위의 점
①점 P(x,y,z)는 세 좌표로 위치가 결정된다
②점선은 각 좌표축과 좌표평면으로의 정사영
③xy평면 위의 그림자: (x,y,0)
④z축 위의 그림자: (0,0,z)
두 점 사이의 거리
공간에서 두 점 A, B 사이의 거리와 성분 분해
공간 두 점 사이의 거리
d = √((x
2
−x
1
)² + (y
2
−y
1
)² + (z
2
−z
1
)²)
피타고라스 정리를 3차원으로 확장
📐 거리 공식의 직관
①2D 거리 공식: √(Δx² + Δy²)
②3D는 Δz²를 하나 더 추가하면 된다
③점선으로 그린 직각 경로를 따라가면
④Δx → Δy → Δz 순서로 직각삼각형 두 번 적용
구의 방정식
중심이 C(a,b,c), 반지름 r인 구
반지름 r
3
구의 방정식
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
중심 C(a,b,c), 반지름 r
🌐 구란?
①한 점(중심)에서 같은 거리(반지름)에 있는 점의 집합
②원의 방정식을 3차원으로 확장한 것
③전개하면 x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 형태
④이 일반형에서 완전제곱식으로 변환하면 중심과 반지름을 구할 수 있다
내분점과 무게중심
내분점 (3D)
P = (
nx
1
+mx
2
m+n
,
ny
1
+my
2
m+n
,
nz
1
+mz
2
m+n
)
선분 AB를 m:n으로 내분하는 점
삼각형의 무게중심
G = (
x
1
+x
2
+x
3
3
,
y
1
+y
2
+y
3
3
,
z
1
+z
2
+z
3
3
)
세 꼭짓점 좌표의 평균
💡 내분점 기억법
①2D 내분점 공식과 구조가 동일
②z좌표만 하나 더 추가하면 된다
③중점은 m=n=1인 특수 경우: 각 좌표의 평균
④무게중심은 세 좌표를 각각 평균
총정리
원점에서의 거리
d = √(x² + y² + z²)
원점 O에서 점 P(x,y,z)까지의 거리
🎯 시험 포인트
①공간 거리 공식: 2D에 Δz²만 추가
②구의 방정식: 원의 방정식에 z항 추가
③일반형 → 표준형 변환으로 중심·반지름 구하기
④내분점·무게중심: 2D와 같은 구조, z좌표 추가
⑤대칭점 구하기: 축·평면·점 대칭 각각 연습
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공간도형