미적분›정적분

정적분

Definite Integrals

정적분과 부호 있는 넓이

하한 a0

상한 b3.141592653589793

👀 부호 있는 넓이

①x축 위의 넓이는 (+), 아래의 넓이는 (−)

②a=0, b=π → 넓이 2 (전부 양)

③a=0, b=2π → 넓이 0 (양과 음이 상쇄!)

④이것이 정적분의 핵심이다

미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리 (FTC)

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)

정적분 = 역도함수의 상한값 − 하한값

🌉 미분과 적분의 다리

①미분과 적분은 서로 역연산이다

②F'(x) = f(x)인 F를 찾으면, 정적분은 F(b) − F(a)

③이것이 수학에서 가장 아름다운 정리 중 하나이다

FTC 제2형

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

적분의 상한으로 미분하면 피적분함수가 된다

정적분의 성질

구간 분할

∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx

구간을 나눠서 적분한 후 더하면 전체 적분

우함수·기함수

f(−x) = f(x) → ∫_−a^a f dx = 2∫₀^a f dx

우함수는 대칭이므로 반만 계산해서 2배

기함수 성질

f(−x) = −f(x) → ∫_−a^a f dx = 0

기함수의 대칭 구간 적분은 항상 0

⚖️ 대칭의 힘

①우함수(짝함수): y축 대칭 → 반만 계산 × 2

②기함수(홀함수): 원점 대칭 → 양쪽이 상쇄 → 0

③시험에서 계산량을 절반으로 줄이는 핵심 테크닉

이상적분 (특이적분)

상한 t5

∞ 무한인데 유한?

①1/x²은 빠르게 감소하여, 무한히 더해도 넓이가 유한하다

②∫₁^t 1/x² dx = 1 − 1/t → t→∞이면 → 1

③반면 ∫₁^∞ 1/x dx = ln t → ∞ : 발산!

이상적분 수렴 판정

∫₁^∞ 1x^p dx : p > 1 수렴, p ≤ 1 발산

p-급수 판정: p=2는 수렴, p=1(조화급수)은 발산

총정리

미적분학 기본정리

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)

정적분의 계산은 역도함수를 찾는 것으로 귀결된다

🎯 시험 포인트

①FTC: F(b) − F(a) 계산이 가장 기본

②부호 있는 넓이: x축 아래는 (−)이므로 절대면적과 구분

③우함수/기함수: 대칭 구간에서 계산량 절반 단축

④이상적분: p > 1 ↔ 수렴, p ≤ 1 ↔ 발산

⑤FTC 제2형: 상한이 x인 적분의 미분 = f(x)