전자기학›벡터

벡터의 덧셈과 크기

Vector Addition & Magnitude

벡터란 무엇인가

xy 평면 위 힘 벡터 F 표현

👀 스칼라 vs 벡터
온도(25℃)는 숫자 하나면 충분하다. 하지만 힘이나 전계는? '3N 세기로, 오른쪽 위 45° 방향으로' — 크기와 방향, 두 가지 정보가 필요하다. 이것이 벡터다.
⚡ 전자기학에서 벡터가 중요한 이유
전계(E), 자계(H), 힘(F) 모두 벡터다. 방향을 모르면 문제를 풀 수 없다. 벡터는 전자기학의 '언어'라고 생각하면 된다.
벡터의 성분 표현

벡터 A의 x·y축 성분 분해 시각화

3
30°
📐 화살표를 숫자로 쪼개기
벡터 A를 x축과 y축 성분으로 분해할 수 있다. 슬라이더로 각도를 바꿔보면, 점선으로 표시된 x성분과 y성분이 변하는 걸 볼 수 있다.
벡터의 성분 표현
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ
Ax = |A|cosθ, Ay = |A|sinθ
단위벡터 정의
â = A|A|
크기가 1이고 A와 같은 방향인 벡터. x̂, ŷ, ẑ가 각 축의 단위벡터
벡터의 덧셈

벡터 A와 B의 합벡터 A+B 시각화

3
30°
2
120°
A = (2.6, 1.5) B = (-1.0, 1.7)
A+B = (1.6, 3.2) |A+B| = 3.61
🎯 벡터 덧셈 = 성분끼리 더하기
빨강 A의 꼬리에 파랑 B를 이어붙이면 합벡터(골드)가 된다. 수식으로는 간단하다 — x성분끼리, y성분끼리 각각 더하면 끝. 두 벡터의 각도를 같게 해보고, 반대로도 해보자.
벡터 덧셈
A + B = (Ax+Bx)x̂ + (Ay+By)ŷ + (Az+Bz)ẑ
성분끼리 더한다 — 이것이 벡터 연산의 기본
벡터 뺄셈
A − B = (Ax−Bx)x̂ + (Ay−By)ŷ + (Az−Bz)ẑ
A − B = A + (−B), B의 방향을 반대로 한 뒤 더하기
벡터의 크기 (3D 확장)

3차원 공간에서 벡터 A의 성분과 크기

3
2
1
|A| = √(3² + 2² + 1²) = √14 = 3.74
📏 크기 = 피타고라스의 확장
2D에서 √(x²+y²) 이었다면, 3D에서는 z가 하나 더 추가될 뿐이다. 슬라이더로 z를 0으로 놓으면 평면벡터와 동일해지는 걸 확인하자.
벡터의 크기
|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
피타고라스 정리를 3차원으로 확장한 것
시험 포인트 정리
2D 벡터
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ
평면벡터
3D 벡터
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ + Az·ẑ
공간벡터
🔑 2D에서 3D로 확장
2D 공식에 z성분만 추가하면 3D — 단위벡터와 크기 계산 구조는 동일
단위벡터
â = A|A|
|â| = 1, A 방향만 나타내는 벡터
벡터 크기
|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
성분의 제곱합에 루트
🎯 시험 포인트
①2D → 3D는 z성분 추가일 뿐, 공식 구조는 동일
②단위벡터 x̂, ŷ, ẑ는 방향만 나타내고 크기는 1
③전계 E = E_x·x̂ + E_y·ŷ + E_z·ẑ 에서 |E|를 구하라는 주요 출제 포인트
④â = A/|A| — 단위벡터 구하기 문제도 출제 포인트
⑤벡터의 뺄셈은 A − B = A + (−B), B의 방향을 반대로 한 뒤 더하기
📝 대표 기출문제
①[기출유형] A = 3x̂ + 4ŷ 일 때 |A|와 단위벡터 â를 구하시오. (답: |A|=5, â=0.6x̂+0.8ŷ)
②[기출유형] A = x̂ + 2ŷ − 2ẑ, B = 2x̂ − ŷ + 2ẑ 일 때 A+B를 구하시오. (답: 3x̂ + ŷ)
③[기출유형] 전계 E = 3x̂ + 4ŷ + 12ẑ [V/m]의 크기를 구하시오. (답: 13 V/m)