전자기학›벡터

스토크스의 정리

Stokes' Theorem

소용돌이 비유

전류 I에 의한 자계 H의 소용돌이와 폐경로 C의 선적분

전류 I2A

경로 반지름3

🌀 소용돌이의 원리

전류(빨강 ⊙)가 흐르면 주위에 자계(초록)가 소용돌이친다. 골드 점선 경로 C를 따라 자계가 밀어주는 총량(선적분) = 경로 안을 관통하는 전류. 경로 크기를 바꿔도 관통 전류가 같으면 선적분 값도 같다.

선적분이란

🚶 선적분 = '경로 따라 밀리는 총량'

∮H·dl은 폐경로 C를 한 바퀴 걸으면서, 각 지점에서 자계 H가 내 진행 방향으로 밀어주는 힘을 전부 합한 것이다. 자계와 진행 방향이 같으면 +, 반대면 − 기여.

순환 (선적분)

∮ H · dl

폐경로 C를 따라 H의 접선 성분을 적분 = 순환(circulation)

스토크스의 정리

∮ F·dl = ∫∫ (∇×F)·dS

폐경로 순환 = 면 내부 회전(curl) 총합

🎯 왼쪽 = 오른쪽, 왜?

왼쪽(선적분): 경로를 따라 밀리는 총량. 오른쪽(면적분): 면 내부 모든 점의 소용돌이(∇×F)를 합산. 경로를 따라 밀리는 이유가 내부에 소용돌이가 있기 때문이다 — 같은 현상의 두 가지 표현.

🔄 발산의 정리와 비교

발산의 정리: 면적분 ↔ 체적적분 (∮F·dS = ∫∫∫∇·F dV)

①스토크스 정리: 선적분 ↔ 면적분 (∮F·dl = ∫∫∇×F·dS)

②한 단계씩 차원이 낮다: 체적→면→선

앙페르 법칙과의 연결

앙페르 법칙 (적분형)

∮ H·dl = I

폐경로를 따른 자계 순환 = 관통 전류

앙페르 법칙 (미분형)

∇×H = J

자계의 회전 = 전류밀도

🔗 적분형 ↔ 미분형 변환

적분형에 스토크스 정리를 적용: ∮H·dl = ∫∫(∇×H)·dS = ∫∫J·dS = I. 양변에서 적분을 제거하면 ∇×H = J. 스토크스 정리가 변환의 다리 역할이다.

패러데이 법칙 (미분형)

∇×E = −∂B∂t

시변 자계가 전계의 회전을 만든다 — 전자유도의 근원

시험 포인트 정리

스토크스의 정리

∮ F·dl = ∫∫ (∇×F)·dS

선적분(경로 순환) = 면적분(내부 회전 합)

앙페르 적분형

∮H·dl = I

자계 순환 = 전류

앙페르 미분형

∇×H = J

자계 회전 = 전류밀도

🔄 발산의 정리 vs 스토크스 정리

발산: ∮F·dS = ∫∫∫∇·F dV   (면↔체적)
스토크스: ∮F·dl = ∫∫∇×F·dS   (선↔면)

🎯 시험 포인트

①스토크스 정리: 선적분 ↔ 면적분 변환 도구

②∮H·dl = I 에서 대칭성 이용 → H를 꺼내서 계산 (앙페르 법칙 문제 풀이 핵심)

③경로 크기를 바꿔도 관통 전류가 같으면 선적분 동일

④∇×E = 0 → ∮E·dl = 0 (정전계는 보존장, 어떤 폐경로든 선적분 = 0)

⑤발산 정리는 ∇· (내적), 스토크스 정리는 ∇× (외적) — 연산자가 다르다

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 반지름 a인 무한 직선 도체에 전류 I가 흐를 때, 앙페르 법칙으로 외부 자계 H를 구하시오. (답: H = I/2πr)

②[기출유형] 스토크스 정리를 이용하여 앙페르 법칙의 적분형에서 미분형을 유도하시오.

③[기출유형] 정전계에서 ∮E·dl = 0인 이유를 스토크스 정리로 설명하시오. (답: ∇×E=0이므로 ∫∫(∇×E)·dS=0)