전자기학›전계의 특수 해법 및 전류

저항률과 도전율

Resistivity & Conductivity

왜 물질마다 저항이 다른가
🏗️ 도로 비유
저항률 = 도로의 울퉁불퉁한 정도
①포장 도로(구리): ρ 작음 → 차(전류)가 빠르게
②비포장 도로(고무): ρ 큼 → 차가 거의 못 감
③도전율 σ = 1/ρ → 도로의 "매끄러운 정도"
온도에 따른 저항률 변화
20 °C

온도-저항률 그래프 — 도체(주황)는 증가, 반도체(파랑)는 감소

🔑 핵심 관찰
①도체(주황): 온도↑ → ρ↑ (격자 진동 증가 → 전자 충돌 증가)
②반도체(파랑): 온도↑ → ρ↓ (열에너지로 자유전자 생성 → n 증가)
③이 반대 경향이 NTC/PTC 소자의 원리
저항률·도전율 기본 공식
저항
R = ρl/S [Ω]
ρ: 고유저항 [Ω·m], l: 길이, S: 단면적
도전율
σ = 1/ρ [S/m]
저항률의 역수. k로 쓰기도 함
저항과 정전용량의 관계
R × C = ρε
같은 도체 형상에서 R과 C의 곱은 물질 상수 ρε로 결정된다
💡 R×C = ρε의 의미
①구, 동축, 평행판 등 어떤 형상이든 R×C = ρε 성립
②R을 알면 C를 바로 구할 수 있고, 그 반대도 가능
③시험에서 "정전용량이 C일 때 누설저항 R은?" 유형에 활용
여러 도체의 저항 공식
완전구
R = 14πka [Ω]
반지름 a인 구형 도체의 접지 저항. k = σ = 1/ρ
반구
R = 12πka [Ω]
대지 위 반구 접지극의 접지 저항 (완전구의 2배)
동심구
R = 14πk(1a - 1b) [Ω]
내경 a, 외경 b인 동심구 사이 저항
동축 케이블
R = 12πk lnba [Ω·m]
내경 a, 외경 b. 단위 길이당 절연 저항
평행 전선 사이
R = 1πk lnda [Ω·m]
선간 거리 d, 도선 반지름 a. 단위 길이당
전선과 대지 사이
R = 12πk ln2ha [Ω·m]
높이 h, 도선 반지름 a. 영상법과 연결됨
📏 공식 패턴 정리
①구 계열: 1/(4πka) — 반구는 절반만 쓰니까 1/(2πka)
②원주(ln) 계열: 동축 1/(2πk)·ln(b/a), 평행 1/(πk)·ln(d/a)
③전선대지: 영상법 → 등가 거리 2h 사용 → 1/(2πk)·ln(2h/a)
④모든 공식에서 k = σ = 1/ρ → 도전율이 클수록 R이 작다
온도계수와 환산
저항률 온도 의존성
ρt = ρ₀(1 + αt) [Ω·m]
ρ₀: 0°C 기준, α: 온도계수 [1/°C]
온도계수 환산
α2 = α11 + α1(t2 - t1)
기준 온도 t₁ → t₂로 환산
저항비
R2R1 = 1 + α1 t21 + α1 t1
두 온도에서의 저항비 → 온도 측정에 활용
🌡️ 저항 온도계
①백금 저항 온도계(Pt100): α가 안정적 → 정밀 온도 측정
②R₁과 R₂를 측정하면 α를 이용해 온도 역산 가능
③반도체 서미스터: NTC는 온도↑ → R↓, PTC는 온도↑ → R↑
저항률과 도전율 총정리
기본 저항
R = ρl/S
[Ω]
R×C 관계
R×C = ρε
형상 무관
완전구/반구
14πka, 12πka
접지 저항
동축 케이블
12πklnba
절연 저항
온도 의존성
ρt = ρ₀(1+αt)
도체 α>0
α 환산
α11+α1Δt
기준온도 변환
🎯 시험 포인트
①R×C = ρε — "정전용량 C를 알 때 저항 R은?" 핵심 유형
②완전구 1/(4πka), 반구 1/(2πka) — 접지 저항 계산 필수
③동축 ln(b/a), 평행전선 ln(d/a) — 자연로그 형태
④전선대지 ln(2h/a) — 영상법에서 유도 (4장 연결)
⑤ρ의 단위: Ω·m, σ의 단위: S/m — 단위 환산 주의
⑥도체 α > 0 (PTC), 반도체 α < 0 (NTC)
⑦구리 ρ₀ = 1.72×10⁻⁸ Ω·m, α = 0.00393/°C (핵심 수치)
📝 대표 기출문제
①[접지저항] 반지름 a=0.5m인 반구 접지극, 대지 도전율 k=0.01S/m → R = 1/(2πka) = 1/(2π×0.01×0.5) ≈ 31.8Ω
②[동축절연] 내경 1cm, 외경 3cm, k=10⁻¹² S/m → R = ln(3)/2πk [Ω·m]
③[R×C] 동축 케이블의 정전용량이 C = 2πε/ln(b/a)일 때, 절연저항 R = ρε/C로 즉시 계산
④[온도환산] 20°C에서 R=10Ω, α₂₀=0.004 → 80°C에서 R = 10×(1+0.004×60)/(1+0) 계산