전자기학›정전계

푸아송의 방정식

Poisson's Equation

왜 또 새 방정식?

🤔 이미 가우스 법칙이 있는데?

가우스 법칙(∮D·dS = Q)은 대칭성이 있을 때만 쉽다. 복잡한 전하 분포에서는 전위 V를 이용해 문제를 미분방정식으로 바꾸는 게 더 강력하다.

🔗 3개의 관계를 합치면

①E = −∇V (전위에서 전계)

②∇·D = ρ_v (가우스 미분형)

③D = εE (구성 방정식)

①이 세 가지를 합치면 ∇²V = −ρ_v/ε 가 나온다.

라플라시안 ∇²

전위 V(x) 프로파일 — 전하가 있는 곳에서 곡률 발생

🌊 라플라시안 ∇² = 곡률 측정기

∇²V는 전위 V의 곡률을 측정한다. 양전하가 있는 곳은 전위가 볼록(봉우리) → ∇²V < 0. 음전하는 오목(골짜기) → ∇²V > 0. 전하가 없으면 매끈 → ∇²V = 0.

라플라시안 (직교좌표)

∇²V = ∂²V∂x² + ∂²V∂y² + ∂²V∂z²

각 방향의 2차 미분(곡률)의 합

푸아송 방정식 유도

3개의 기본 관계식에서 푸아송 방정식 유도 과정

📐 유도 과정

①E = −∇V → D = εE = −ε∇V

②∇·D = ρ_v에 대입 → ∇·(−ε∇V) = ρ_v

③ε가 일정하면 → −ε(∇·∇V) = ρ_v

④∇·∇ = ∇² 이므로 → ∇²V = −ρ_v/ε

푸아송 방정식

∇²V = -ρ_vε

전하밀도 ρ_v가 주어지면 전위 V를 구할 수 있는 미분방정식

시각적 의미

전하 위치·부호에 따른 전위 프로파일 곡률 변화

전하 위치0

전하 크기/부호2

🏔️ 전하 = 전위의 원천

양전하가 있으면 전위가 솟아오르고(봉우리), 음전하가 있으면 전위가 꺼진다(골짜기). 전하가 없는 영역은 전위가 직선적으로 변한다(∇²V = 0). 전하 위치와 부호를 바꿔보자.

시험 포인트 정리

푸아송 방정식

∇²V = -ρ_vε

전하가 있는 공간에서 전위를 결정하는 미분방정식

라플라스 방정식

∇²V = 0

전하가 없는 공간 (ρ_v = 0) — 푸아송의 특수한 경우

구좌표 라플라시안

∇²V = 1r²∂∂r(r²∂V∂r) + ...

구 대칭 문제에서 θ,φ 무관 시 첫 항만 사용

🎯 시험 포인트

①푸아송 = 전하 있음, 라플라스 = 전하 없음 — ρ_v가 0이냐 아니냐의 차이

②유도 과정(E = −∇V, ∇·D = ρ_v 결합)을 서술할 수 있어야 한다

③∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² (직교좌표)

④라플라시안은 좌표계마다 형태가 다르다 — 구좌표, 원통좌표 형태 암기 필요

⑤경계조건 + 푸아송(또는 라플라스) → 전위의 유일한 해가 결정된다 (유일성 정리)

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 푸아송 방정식과 라플라스 방정식의 차이를 설명하시오. (답: ρ_v≠0 vs ρ_v=0)

②[기출유형] V = 5x² + 3y²일 때 ∇²V를 구하시오. (답: 10+6=16)

③[기출유형] 가우스 법칙의 미분형에서 푸아송 방정식을 유도하시오.