전자기학›전계의 특수 해법 및 전류

미시적 옴의 법칙

Microscopic Ohm's Law

거시적 vs 미시적 옴의 법칙

🔬 거시 → 미시

V = IR을 미소 영역에 적용하면

①V → E (전기장), I → J (전류밀도), R → 1/σ (저항률의 역수)

②물질의 전기적 성질은 σ(도전율)로 결정

③같은 전기장이라도 σ가 큰 물질에서 J가 큼 = 전류가 잘 흐름

전기장과 전자 드리프트

전기장 E5 V/m

도전율 σ3 S/m

전기장 E에 의한 전자 드리프트 — σ↑이면 전자 수↑, E↑이면 속도↑

🔑 핵심 관찰

①E를 높이면 전자 드리프트 속도 증가 → J 증가

②σ를 높이면 자유전자 수 증가 → 같은 E에서 J 증가

③J가 크면 격자와 충돌 증가 → 줄열(붉은 배경) 증가

J = σE 유도

미시적 옴의 법칙

J = σE [A/m²]

전류밀도 = 도전율 × 전기장. 거시적 V=IR의 미시 형태

도전율의 미시 구조

σ = ne²τ/m = neμ_e

n: 전자밀도, τ: 이완시간, μ_e: 이동도

드리프트 속도

v_d = μ_e · E

이동도 μ_e = eτ/m

줄열과 전력

전력 밀도 (줄열)

p = J · E = σE² = J²/σ [W/m³]

단위 체적당 소비 전력

전체 줄열

P = ∫_V J·E dv = I²R = V²/R [W]

미시 → 거시: 체적 적분하면 P = I²R

🔥 줄열의 의미

①p = σE²: E가 2배면 줄열은 4배 (제곱 관계!)

②p = J²/σ: σ가 작은(저항 큰) 물질에서 더 많은 열 발생

③이것이 가는 전선이 더 뜨거워지는 이유 — J가 크니까

미시적 옴의 법칙 총정리

옴의 법칙

J = σE

미시적 형태

도전율

σ = neμ_e

이동도 관계

줄열 밀도

p = J·E = σE²

[W/m³]

거시 줄열

P = I²R = V²/R

[W]

🎯 시험 포인트

①J = σE에서 σ의 단위: S/m (지멘스/미터)

②E = J/σ = ρJ (ρ = 1/σ는 저항률)

③줄열 p = σE² = J²/σ = J·E — 세 형태 모두 출제

④σ = neμ_e에서 반도체는 n이 온도에 따라 변하므로 σ도 변화

⑤거시 V=IR ↔ 미시 E=ρJ는 같은 법칙의 다른 스케일 표현

📝 대표 기출문제

①[J=σE 계산] 도전율 σ=5.8×10⁷ S/m, 전기장 E=0.01V/m → J = 5.8×10⁵ A/m²

②[줄열] J=10⁶ A/m², σ=5.8×10⁷ → p = J²/σ ≈ 17.2 W/m³

③[거시↔미시] V=IR에서 양변을 l로 나누고 A를 곱하면 E=ρJ 유도 과정