전자기학›5장 정자계

자속과 벡터 포텐셜

Magnetic Flux & Vector Potential

자기력선은 시작도 끝도 없다
♾️ 전기력선 vs 자기력선
①전기력선: +전하에서 출발 → −전하에서 끝남 (∇·E = ρ/ε₀)
②자기력선: 시작점도 끝점도 없이 항상 닫힌 곡선 (∇·B = 0)
③이유: 자기 모노폴이 존재하지 않기 때문!
자속분포의 법칙 (∇·B = 0)
3

자기력선 폐곡선 — 가우스 폐곡면의 순 자속 = 0

🔑 핵심 관찰
①어떤 폐곡면을 잡아도, 들어오는 자속 = 나가는 자속
②∮B·dA = 0 — 가우스 법칙의 자기 버전 (우변이 0!)
③이것이 "자기 모노폴 부재"의 수학적 표현입니다
자속분포 법칙과 벡터 포텐셜
자속분포의 법칙 (적분형)
∮ B · dA = 0
임의의 폐곡면을 관통하는 순 자속은 항상 0
자속분포의 법칙 (미분형)
∇ · B = 0
자속밀도의 발산은 항상 0 — 맥스웰 방정식 중 하나
벡터 포텐셜 정의
B = ∇ × A
A: 벡터 자기 포텐셜 [Wb/m] — B는 A의 회전(curl)
⚡ 왜 벡터 포텐셜이 필요한가?
①∇·B = 0이므로 B = ∇×A로 쓸 수 있음 (벡터 항등식: ∇·(∇×A) ≡ 0)
②A를 먼저 구하면 B를 curl 한 번으로 얻을 수 있어 계산이 편리
③전위 V가 E = −∇V인 것처럼, A는 B = ∇×A — 포텐셜의 자기 버전
벡터 포텐셜 A의 방향과 분포
5 A

벡터 포텐셜 A(보라)는 전류 방향, B(녹색)는 동심원

무한 직선 전류의 벡터 포텐셜
A = (μ₀I / 2π) · ln(1/r) · ẑ [Wb/m]
A는 전류 방향(z)과 같은 방향, 크기는 ln(1/r)에 비례
💡 정전계 vs 정자계 대응 완성
①전위 V (스칼라) → E = −∇V / 자위 Vm (스칼라) → H = −∇Vm
②벡터 포텐셜 A (벡터) → B = ∇×A — 자기만의 고유한 포텐셜
③∇·D = ρ (전하 존재) vs ∇·B = 0 (자기 모노폴 부재) — 핵심 차이!
시험 핵심 정리
자속분포 법칙
∇·B = 0
∮B·dA = 0
벡터 포텐셜
B = ∇ × A
A: [Wb/m]
자속
Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ
스토크스 정리 적용
포아송 방정식
∇²A = −μ₀J
A에 대한 포아송
🎯 시험 포인트
①∇·B = 0: 자기 모노폴이 없다 → 자기력선은 항상 폐곡선
②B = ∇×A: 벡터 포텐셜의 정의 — 항등식 ∇·(∇×A) ≡ 0 보장
③Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ: 스토크스 정리로 연결
④∇·D = ρ vs ∇·B = 0: 정전계와 정자계의 근본적 차이
⑤A의 단위: [Wb/m] = [T·m] = [V·s/m]
📝 대표 기출문제
①[∇·B=0] 임의의 폐곡면에서 자속의 총합이 0인 이유 → 자기 모노폴 부재
②[벡터포텐셜] B = ∇×A에서 A의 단위는? → Wb/m
③[스토크스] Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ 관계식을 이용한 자속 계산