전자기학›전계의 특수 해법 및 전류

전기영상법

Method of Images

거울 속 전하
🪞 거울의 원리
화장실 거울 앞에 서면 거울 "뒤"에 나와 똑같은 사람이 보인다
①전기영상법도 마찬가지 — 도체 평면을 거울로 보고, 반대편에 부호가 반대인 "영상 전하"를 놓으면
②도체 표면에서 전위 = 0 조건이 자동으로 만족된다
③복잡한 유도 전하 분포를 직접 구하지 않고도 전계를 계산할 수 있다
도체 평면의 영상 전하
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접지 도체 평면과 점전하 +Q의 영상 전하 −Q

🔑 핵심 관찰
도체 평면의 경우
①영상 전하 Q' = −Q (크기 같고 부호 반대)
②거리도 같음: 평면으로부터 h 위치에 대칭
③도체 표면에서 전위 = 0 자동 만족
④영상법은 도체 바깥(실전하 영역)에서만 유효
도체 평면 영상 전하
Q' = −Q, 영상 위치: 평면 대칭 (거리 h)
무한 도체 평면 + 점전하 Q: 영상은 크기 같고 부호 반대
도체 평면과의 힘
F = -Q216πε0 h2 [N]
두 전하 사이 거리 = 2h → 쿨롱 힘 계산 (음부호 = 흡인력)
무한원 운반 에너지
W = Q216πε0 h [J]
전하를 도체 표면에서 무한원까지 떼어내는 데 필요한 에너지
최대 표면 전하밀도
σmax = -Q2π h2 [C/m2]
도체 평면에서 전하 바로 아래(최근접점)의 유도 전하밀도
도체 평면과 선전하
📏 송전선과 대지
무한 직선 도체(선전하 λ C/m)가 접지 평면 위 h에 있을 때
①평면 대칭 위치에 −λ를 놓으면 영상법 성립
②단위 길이당 힘 F와 정전용량 C를 구할 수 있다
③이 문제는 가공 송전선로의 정전용량 공식의 기초
선전하 — 단위 길이당 힘
F = -λ24πε0 h [N/m]
흡인력. λ: 선전하밀도 [C/m], h: 평면까지 높이
선전하 — 대지와의 정전용량
C = 2πε0ln(2h/a) [F/m]
a: 도선 반지름. 가공 송전선로 기초 공식
접지 구도체의 영상 전하
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접지 구도체와 점전하의 영상 전하 Q'=−(a/d)Q

접지 구도체 영상 전하
Q' = -ad Q, 위치: 구 중심에서 a2d
반지름 a인 접지 구, 구 중심에서 거리 d에 점전하 Q
💡 구도체 vs 평면
①구도체: 영상 전하 크기가 Q와 다르다 → Q'=−(a/d)Q
②구도체: 영상 전하 위치 = a²/d (구 중심 기준, 구 내부)
③d → ∞이면 Q' → 0, 위치 → 구 중심 (먼 전하의 영향 사라짐)
④d → a이면 Q' → −Q (도체 평면 결과와 유사)
⑤작용하는 힘: 영상 전하와 점전하 사이에는 항상 흡인력
유전체 경계의 영상법
유전체 경계 영상 전하
Q' = -ε2 - ε1ε2 + ε1 · Q
ε₁ 영역에서 본 영상 전하 (경계면 대칭 위치)
경계 너머 등가 전하
Q'' = 2ε2ε2 + ε1 · Q
ε₂ 영역에서 원래 전하 위치에 놓이는 등가 전하
📐 2차원 문제 — 전기력선과 등전위선
전기력선과 등전위선은 항상 직교한다
①2차원 전기력선 방정식: dy/dx = E_y/E_x
②등전위선: V(x,y) = C 곡선
③두 평행 도선: 등전위선 = 원, 전기력선 = 원 (직교 원족)
전기영상법 총정리
도체 평면 + 점전하
Q' = −Q
대칭 위치, 부호 반대
접지 구도체
Q' = −(a/d)Q
위치 a²/d
평면 + 점전하 힘
F = Q216πε0 h2
항상 인력
평면 + 선전하 힘
F = λ24πε0 h
단위길이당 인력
유전체 경계
Q' = -ε2 - ε1ε2 + ε1 · Q
분모 합에 주의
선전하 정전용량
C = 2πε0ln(2h/a)
대지와 F/m
🎯 시험 포인트
①도체 평면 + 점전하: Q'=−Q, 거리 2h → F=Q²/(16πε₀h²), W=Q²/(16πε₀h)
②접지 구: Q'=−(a/d)Q, 위치=a²/d (구 중심 기준)
③도체 평면 + 선전하: F=λ²/(4πε₀h), C=2πε₀/ln(2h/a) — 송전선 정전용량 기초
④유전체 경계: 분모(ε₂+ε₁)에 주의 — ε₂=∞이면 도체 평면 결과로 수렴
⑤최대 표면전하밀도 σ_max=−Q/(2πh²) — 전하 바로 아래가 최대
⑥영상법은 도체 바깥(실제 전하 영역)에서만 유효
⑦전기력선과 등전위선은 반드시 직교 — 시험 핵심 지문
📝 대표 기출문제
①[평면 힘 계산] 접지 도체 평면에서 h=10cm 위에 Q=1μC 점전하 → F=Q²/(16πε₀h²) 대입
②[구도체 영상] 반지름 a=5cm 접지 구에서 d=15cm 거리에 Q → Q'=−(a/d)Q=−Q/3, 위치=a²/d≈1.67cm
③[유전체 경계] ε₁=ε₀, ε₂=3ε₀ → Q'=−(3−1)/(3+1)·Q=−Q/2
④[선전하 정전용량] 높이 h=10m, 반지름 a=1cm인 가공 전선 → C=2πε₀/ln(2000) 계산