전자기학›정전계

가우스 법칙

Gauss's Law

가우스 법칙의 핵심

구형 가우스면을 뚫고 나가는 전속밀도 D

가우스면 반지름3

🎈 핵심 아이디어

점선 원(가우스면)을 뚫고 나가는 전기력선의 총량은, 가우스면 크기에 상관없이 내부 전하량과 같다. 면을 크게 키워도, 작게 줄여도, 뚫고 나가는 총량은 변하지 않는다.

가우스 법칙

∮ D · dS = Q (내부 전하)

폐곡면을 뚫는 전속 = 내부에 감싸진 전하량

가우스면 선택

🎯 가우스면 선택이 핵심이다

가우스 법칙은 항상 성립하지만, 문제를 쉽게 풀려면 대칭성에 맞는 가우스면을 골라야 한다. 핵심 조건: 가우스면 위에서 D의 크기가 일정해야 적분 바깥으로 꺼낼 수 있다.

💡 풀이 패턴 (3단계)

①대칭성 판별 → 가우스면 선택

②D를 적분 바깥으로 꺼내기: ∮D·dS = D × (가우스면 넓이)

③= Q(내부 전하)로 놓고 D를 구한다

구 대칭 (점전하)

점전하 Q의 구형 가우스면 — D가 면 위에서 균일

가우스면 반지름 r3

📐 구 대칭 풀이

점전하 Q를 감싸는 구 가우스면. 구 위 모든 점에서 D의 크기가 같고, D ∥ dS이므로 D·dS = D·dS. 적분하면 D × 4πr² = Q.

구 대칭 결과

D = Q4πr², E = Q4πε₀ r²

쿨롱의 법칙과 동일한 결과 — 가우스 법칙으로 유도

원통 대칭 (선전하)

무한 선전하 λ의 원통형 가우스면

가우스면 반지름 ρ3

📐 원통 대칭 풀이

무한 선전하 λ를 감싸는 원통 가우스면. 옆면에서만 D가 수직(D ∥ dS), 뚜껑/바닥면에서는 D ⊥ dS (기여 0). 적분하면 D × 2πρℓ = λℓ.

원통 대칭 결과

D = λ2πρ, E = λ2πε₀ ρ

1/ρ에 비례 — 점전하의 1/r²와 다르다

무한 평면 전하

D = σ2, E = σ2ε₀

면전하밀도 σ. 거리 무관 — 균일 전계

시험 포인트 정리

가우스 법칙 (적분형)

∮ D·dS = Q

폐곡면 전속 = 내부 전하

가우스 법칙 (미분형)

∇·D = ρ_v

발산의 정리로 변환

D와 E의 관계

D = εE = ε₀ ε_s E

전속밀도와 전계의 관계. 유전체에서 ε = ε₀ε_s

💡 전하밀도 3종

①체적전하밀도 ρ_v [C/m³] — 공간에 퍼진 전하

②면전하밀도 σ [C/m²] — 면에 분포

③선전하밀도 λ [C/m] — 선에 분포

🎯 시험 포인트

①가우스면 선택이 풀이의 80% — 대칭성에 맞게 고를 것

②D = ε₀E 관계 — D로 풀고 E로 변환

③점전하 1/r², 선전하 1/ρ, 면전하 상수 — 감소 패턴이 다르다

④도체 내부 전계 = 0, 표면 전하만 존재

⑤전하가 없는 영역: ∇·D = 0

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 반지름 a인 구도체에 전하 Q가 있을 때 r>a에서 E를 구하시오. (답: E=Q/4πε₀r²)

②[기출유형] 선전하밀도 5nC/m인 무한 직선 도체에서 2m 거리의 전계를 구하시오. (답: E=λ/2πε₀ρ=45V/m)

③[기출유형] 면전하밀도 σ인 무한 평면의 전계가 거리에 무관한 이유를 설명하시오.