전자기학›정전계

전위

Electric Potential

전위란 무엇인가

점전하 Q 주위의 등전위선과 관측점 P

🏔️ 전위 = 전기적 높이

산 위에서 공을 놓으면 아래로 굴러가듯이, 양전하는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동한다. 전위는 스칼라(숫자 하나)이므로 전계(벡터)보다 다루기 쉽다.

💡 전위의 정의

단위 양전하를 무한대에서 그 점까지 옮기는 데 필요한 일(에너지). 단위: [V] = [J/C]. 무한대에서 전위 = 0으로 기준을 잡는다.

점전하의 전위

등전위선과 V(r) 그래프 — 거리에 따른 1/r 감소

전위 V의 1/r 그래프

전하 Q2

거리 r3m

📏 거리에 따른 전위 변화

동심원이 등전위선이다. 가까울수록 전위가 높고(원이 촘촘), 멀수록 낮다. 그래프에서 V ∝ 1/r — 전계(1/r²)보다 천천히 감소한다.

점전하의 전위

V = Q4πε₀ r [V]

전계는 1/r², 전위는 1/r — 지수가 1 차이

등전위면과 전계

등전위선(동심원)과 전계(빨간 화살표)의 직교 관계

전하 Q2

📐 등전위면 ⊥ 전기력선

등전위선(동심원)과 전계(빨간 화살표)가 항상 수직으로 만난다. 등전위면 위에서는 전위가 같으므로 전하를 옮겨도 일을 하지 않는다. 일을 하려면 등전위면을 '관통'해야 한다.

등전위면 위의 일

W = 0 (등전위면 위 이동)

등전위면 위에서 전계는 수직이므로 E·dl = 0

전위와 전계의 관계

전계에서 전위 (적분)

V = −∫ E · dl

전계를 경로 적분하면 전위차를 구할 수 있다

전위에서 전계 (미분)

E = −∇V = −grad V

전위를 미분(기울기)하면 전계가 된다. 마이너스 = 내리막 방향

전위차

V_AB = V_A − V_B = −∫(A→B) E · dl

두 점 사이의 전위차 = 전계의 경로 적분

🔗 E와 V는 동전의 양면

전계 → 전위: 적분 (V = −∫E·dl). 전위 → 전계: 미분 (E = −∇V). 마이너스 부호가 붙는 이유: 전계는 전위가 감소하는 방향(내리막)을 향한다.

⚡ 실전 팁

점전하 문제에서 전위를 먼저 구하고(스칼라 합), 그 다음 E = −∇V로 전계를 구하는 게 편하다. 전계의 벡터 합보다 전위의 스칼라 합이 훨씬 쉽기 때문이다.

시험 포인트 정리

점전하의 전위

V = Q4πε₀ r

스칼라. 1/r에 비례

점전하의 전계

E = Q4πε₀ r²

벡터. 1/r²에 비례

⚡ 전위와 전계의 상호 변환

V에서 E를 구하려면 음의 기울기(−∇V), E에서 V는 선적분 — 역방향 관계

V → E

E = −∇V

미분

E → V

V = −∫E·dl

적분

여러 전하의 전위

V = Σ Q_i4πε₀ r_i

전위는 스칼라 → 부호만 주의하고 단순 합산 (벡터 합 아님!)

🎯 시험 포인트

①V = Q/4πε₀r (점전하), 1/r 감소 — 전계의 1/r²와 구별

②E = −∇V — 마이너스 부호 빼먹지 말 것

③전위는 스칼라 → 여러 전하의 전위는 단순 합(부호 주의)

④등전위면 위 이동은 일 = 0

⑤전위차: V_AB = V_A − V_B = −∫(A→B) E·dl

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 2μC 점전하로부터 50cm 거리의 전위를 구하시오. (답: V=9×10⁹×2×10⁻⁶/0.5=36kV)

②[기출유형] V=x²+y²일 때 원점에서의 전계를 구하시오. (답: E=−∇V=−2x·x̂−2y·ŷ, 원점에서 E=0)

③[기출유형] +Q와 −Q가 d만큼 떨어져 있을 때, 중점의 전위를 구하시오. (답: V=Q/4πε₀(d/2)+(-Q)/4πε₀(d/2)=0)