전자기학›벡터

발산·회전·기울기

Divergence · Curl · Gradient

∇ (나블라) 연산자
나블라 연산자
∇ = ∂∂xx̂ + ∂∂yŷ + ∂∂zẑ
미분을 벡터로 포장한 것 — 3가지 방식으로 작용한다
∇V
기울기
스칼라→벡터
∇·F
발산
벡터→스칼라
∇×F
회전
벡터→벡터
🔧 ∇는 만능 도구
같은 ∇인데, 스칼라에 붙이면 기울기(grad), 벡터에 내적(·)하면 발산(div), 벡터에 외적(×)하면 회전(curl)이 된다. 입력과 연산 방식에 따라 결과가 달라진다.
기울기 (Gradient)

스칼라장 V의 등고선과 기울기 벡터 ∇V

2
1.5
🏔️ 기울기 = 가장 가파른 오르막 방향
등고선(노란 원)이 스칼라장 V의 높이를 나타낸다. 초록 화살표 ∇V는 V가 가장 빠르게 증가하는 방향(산꼭대기 쪽)을 가리킨다. P를 움직여보면, 항상 등고선에 수직인 방향을 향한다.
기울기 (직교좌표)
∇V = ∂V∂xx̂ + ∂V∂yŷ + ∂V∂zẑ
스칼라장 → 벡터장 (방향: 최대 증가, 크기: 변화율)
전계와 전위
E = −∇V
전계는 전위가 떨어지는 방향(내리막). 마이너스가 핵심!
발산 (Divergence)

벡터장의 발산 — 소스(뿜어냄)와 싱크(빨아들임)

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💨 발산 = 뿜어나오는 정도
양수면 소스(뿜어냄 → 빨강), 음수면 싱크(빨아들임 → 파랑)이다. 슬라이더를 0으로 놓으면 화살표가 사라진다 — 뿜어나오지도, 빨아들이지도 않는 상태. 가우스 법칙의 핵심이 바로 이것이다.
발산 (직교좌표)
∇·F = ∂Fx∂x + ∂Fy∂y + ∂Fz∂z
벡터장 → 스칼라 (각 성분의 변화율 합)
가우스 법칙 (미분형)
∇·D = ρv
전속밀도의 발산 = 전하밀도. 전하가 있는 곳에서 전기력선이 뿜어나온다
회전 (Curl)

벡터장의 회전 — 소용돌이 방향과 세기

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🌀 회전 = 소용돌이 정도
작은 바람개비를 벡터장 속에 놓으면 돌아가는가? 양수면 반시계(z축 양), 음수면 시계(z축 음). 회전이 0이면 바람개비가 안 돈다 — 보존장(전계 등)의 특성이다.
회전 (행렬식)
∇×F = |x̂ ŷ ẑ; ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z; Fx Fy Fz|
벡터장 → 벡터 (3×3 행렬식으로 전개)
앙페르 법칙 (미분형)
∇×H = J
전류가 흐르는 곳 주위에서 자계가 소용돌이친다
시험 포인트 정리
기울기
∇V → 벡터
스칼라의 최대 증가 방향 | E = −∇V
발산
∇·F → 스칼라
뿜어나오는 정도 | ∇·D = ρv
🔑 grad·div·curl 직관
기울기는 방향, 발산은 퍼짐, 회전은 소용돌이 — 물리적 의미를 먼저 기억
회전
∇×F → 벡터
소용돌이치는 정도 | ∇×H = J
벡터 항등식 (암기 필수)
∇×(∇V) = 0, ∇·(∇×F) = 0
기울기의 회전은 항상 0 | 회전의 발산은 항상 0
라플라시안
∇²V = ∇·(∇V)
발산(기울기(V)) = 2차 미분. 포아송·라플라스 방정식에 사용
🎯 시험 포인트
①∇V는 등전위면에 수직, E = −∇V 방향은 전위 감소 방향
②∇·D = ρ_v : 전하가 없으면 발산 = 0
③∇×E = 0 (정전계): 정전계는 회전이 없다 = 보존장
④∇×H = J : 전류 주위에 자계 회전
⑤항등식: ∇×(∇V) ≡ 0, ∇·(∇×F) ≡ 0 — 이것이 왜 중요한가? 정전계가 보존장인 근거
📝 대표 기출문제
①[기출유형] V = x²y + yz 일 때 ∇V를 구하시오. (답: 2xy·x̂ + (x²+z)·ŷ + y·ẑ)
②[기출유형] F = xy·x̂ + yz·ŷ + zx·ẑ 일 때 ∇·F를 구하시오. (답: y+z+x)
③[기출유형] 정전계에서 ∇×E = 0임을 이용하여 E = −∇V가 성립하는 이유를 설명하시오.