전자기학›도체계

도체계의 전하 및 전위분포

Charge & Potential Distribution

도체 내부의 전하는 어디에?

구형·뾰족한 도체의 표면전하 분포와 내부 전계

전하량 Q3Q

🫧 풍선 위의 개미

양전하들은 서로 싫어하는 개미와 같다.

①풍선(도체) 안에 가두면, 개미들은 최대한 멀리 떨어지려고 표면으로 이동!

②구형이면 균일하게, 뾰족하면 뾰족한 곳에 몰린다.

도체의 핵심 성질 3가지

내부 전계

E_내부 = 0

도체 내부 전계는 항상 0 (정전 평형)

등전위

V = 일정 (등전위)

도체 전체가 하나의 전위를 가짐

표면 전하-전계

σ = ε₀ E_n (표면)

표면 전하밀도와 표면 법선방향 전계의 관계

💡 왜 내부 전계가 0일까?

만약 도체 내부에 전계가 있다면 → 자유전자가 힘을 받아 이동 → 전하 재배치 → 외부 전계를 상쇄

①이 과정이 전계가 완전히 0이 될 때까지 계속된다

②결과: 내부 E=0, 표면만 전하, 전체 등전위!

구도체의 전위·전계 분포

구도체의 V(r), E(r) 분포 — 내부 일정, 외부 감소

내부 전위

V = Q4πε₀ R (r ≤ R)

일정 (표면 전위와 같음)

외부 전위

V = Q4πε₀ r (r > R)

점전하와 동일

🔑 내부 vs 외부의 핵심 차이

내부는 E=0, V=일정이고, 외부는 점전하와 동일하게 1/r², 1/r로 감소한다

내부 전계

E = 0 (r < R)

내부 전계 없음

외부 전계

E = Q4πε₀ r² (r > R)

점전하와 동일

🎯 핵심 포인트

도체 외부에서 보면 점전하와 완전히 동일하게 행동한다!

①내부는 전계 0, 전위 일정

②외부는 마치 중심에 점전하가 있는 것처럼 1/r², 1/r로 감소

곡률과 전하 밀도의 관계

곡률-전하 관계

σ ∝ 1R (곡률반경)

곡률반경이 작을수록 표면전하밀도가 큼

곡률-전계 관계

E = σε₀ ∝ 1R

뾰족한 곳일수록 전계가 강함 → 방전 발생

⚡ 피뢰침의 원리

피뢰침 끝이 뾰족한 이유!

①곡률이 큰 끝 부분에 전하가 집중 → 극히 강한 전계 발생

②공기의 절연이 파괴되어 코로나 방전 → 낙뢰를 유도하여 안전하게 접지

시험 포인트 정리

내부 전계

E_내부 = 0

도체 내부

등전위

V = 일정

도체 전체

⚡ 도체의 3대 성질

내부 전계=0, 전체 등전위, 전하는 표면에만 — 이 세 가지가 가우스법칙에서 유도된다

표면 조건

σ = ε₀ E_n

표면전하밀도

곡률 효과

σ ∝ 1R

뾰족할수록 집중

🎯 시험 포인트

①도체 내부 E=0 → 전하는 표면에만 존재 → 가우스법칙으로 증명

②도체 전체가 등전위 → 표면도 등전위면 → 전기력선은 표면에 수직

③표면전하밀도 σ = ε₀E_n에서 E_n은 표면 바로 바깥의 법선 방향 전계

④곡률반경 R이 작을수록(뾰족할수록) σ가 크고 전계가 강함

⑤구도체의 외부 전위·전계는 점전하와 동일 → 시험에서 자주 비교 출제

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 반지름 a인 도체구에 전하 Q를 줄 때, 표면전하밀도를 구하시오. (답: σ=Q/4πa²)

②[기출유형] 도체 내부 전계가 0인 이유를 설명하시오.

③[기출유형] 반지름 R₁, R₂(R₁<R₂)인 두 구도체를 가는 도선으로 연결할 때, 각 표면전하밀도의 비를 구하시오. (답: σ₁/σ₂=R₂/R₁)