전자기학›유전체

경계조건과 굴절

Boundary Conditions & Refraction

두 유전체가 만나면?

유전율이 다른 두 영역의 경계면에서 전기력선 굴절

🔍 상황: 서로 다른 유전체의 경계면
①유전율이 다른 두 물질이 접해 있다 (예: 공기 ↔ 유리).
②전기력선이 경계면을 통과할 때, 방향이 꾾인다!
③마치 빛이 물에 들어갈 때 굴절하는 것과 같다.
④경계면에서 E와 D가 어떤 규칙을 따르는지 알아보자.
E의 접선 성분 — 연속

입사각 θ₁에 따른 E의 접선·법선 성분 변화

30°
E의 접선 성분
Et1 = Et2
경계면에 평행한 E 성분은 양쪽이 같다
💡 유도: 왜 Et가 연속인가?
①경계면을 따라 아주 얌은 직사각형 경로를 잡는다.
②정전계에서 ∮E·dl = 0 (보존장).
③높이를 0으로 보내면: Et1·Δl - Et2·Δl = 0
④따라서 Et1 = Et2 → 접선 성분은 반드시 연속!
D의 법선 성분 — 연속

유전율 ε₁, ε₂에 따른 D의 법선 성분 연속 조건

2ε₀
5ε₀
D의 법선 성분
Dn1 = Dn2
경계면에 수직인 D 성분은 양쪽이 같다 (표면 자유전하 없을 때)
💡 유도: 왜 Dn이 연속인가?
①경계면에 아주 얌은 가우스면(필박스)을 씨운다.
②∮D·dA = Q자유 에서, 경계면에 자유전하가 없으면 Q = 0.
③Dn1·ΔA - Dn2·ΔA = 0 → Dn1 = Dn2
④Dn은 연속이지만, En은 불연속! (ε₁En1 = ε₂En2)
E의 법선 성분 (불연속)
ε₁ En1 = ε₂ En2
Dn 연속 → En은 ε 비율만큼 달라진다
전기력선의 굴절 법칙

전기력선 굴절 — tanθ₁/tanθ₂=ε₁/ε₂ 시각화

2ε₀
5ε₀
30°
전기력선의 굴절 법칙
tanθ1tanθ2 = ε1ε2
현재: θ₁=30° → θ₂=55.3°
📐 유도 과정
①Et1 = Et2 → E₁sinθ₁ = E₂sinθ₂
②Dn1 = Dn2 → ε₁E₁cosθ₁ = ε₂E₂cosθ₂
③
①을
②로 나누면: sinθ₁/(ε₁cosθ₁) = sinθ₂/(ε₂cosθ₂)
④정리하면: tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂
⑤ε₂ > ε₁이면 θ₂ > θ₁ → 전기력선이 퍼진다 (슬라이더로 확인!)
⚠️ 빛의 굴절과 비교
•빛(스넬 법칙): sinθ₁/sinθ₂ = n₂/n₁ — sin 비율
•전기력선: tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂ — tan 비율 (다르다!)
•시험에서 sin과 tan을 혼동하면 틀린다!
경계조건과 굴절 총정리
E 접선 (연속)
Et1 = Et2
∮E·dl = 0 에서 유도
D 법선 (연속)
Dn1 = Dn2
∮D·dA = 0 에서 유도
E 법선 (불연속)
ε₁En1 = ε₂En2
ε 비율만큼 변화
굴절 법칙
tanθ1tanθ2 = ε1ε2
tan 비율!
🎯 시험 포인트
①연속인 것: Et(접선)와 Dn(법선) — "Et Dn 연속" 암기!
②불연속인 것: En(법선)과 Dt(접선)
③굴절 법칙은 tan 비율이다 (sin이 아님! 빛과 다르다)
④ε₂ > ε₁ → θ₂ > θ₁ (유전율 큰 쪽으로 퍼진다)
⑤경계면에 자유전하가 있으면: Dn1 - Dn2 = σf (수정 필요)
🔗 정전계-자계 경계조건 대응
•E 접선 연속 ↔ H 접선 연속 (자계에서도 접선 성분 연속)
•D 법선 연속 ↔ B 법선 연속 (법선 성분 연속)
•tan 굴절 ↔ tan 굴절 (형태 동일, ε→μ 치환)
📝 대표 기출문제
①[기출유형] ε₁=2ε₀, ε₂=5ε₀인 경계면에서 θ₁=30°일 때 θ₂를 구하시오. (답: tanθ₂=5tan30°/2, θ₂≈55.3°)
②[기출유형] 경계면에서 Et가 연속인 이유를 ∮E·dl=0으로 설명하시오.
③[기출유형] 전기력선 굴절법칙에서 sin이 아닌 tan을 사용하는 이유를 설명하시오.