전자기학›5장 정자계

비오-사바르 법칙

Biot-Savart Law

전류가 만드는 자계

⚡ 외르스테드의 발견

①1820년 외르스테드: 전류가 흐르는 도선 옆 나침반이 움직인다!

②전류 → 자계 생성: 이것이 전자기학의 핵심 연결고리

③비오-사바르 법칙: 전류 미소요소가 만드는 자계를 정확히 계산하는 공식

비오-사바르 법칙 시각화

전류 I [A]5 A

관측 거리 r [m]2 m

전류 미소요소 Idℓ가 만드는 자계 dH — 거리와 각도에 따라 변화

🔑 핵심 관찰

①전류 미소요소 Idℓ이 거리 r 떨어진 점에 dH를 만듭니다

②dH의 방향: Idℓ × r̂ (오른나사 법칙) — 전류와 r 모두에 수직

③dH ∝ I/r² — 전류에 비례, 거리 제곱에 반비례

비오-사바르 법칙 공식

비오-사바르 법칙

dH = (Idℓ × r̂) / (4πr²) [A/m]

I: 전류 [A], dℓ: 미소길이벡터, r: 전류→관측점 거리, r̂: 단위벡터

크기만 계산

|dH| = I·dℓ·sinα / (4πr²)

α: Idℓ과 r 사이의 각도 — α=90°일 때 최대

⚡ 적분으로 전체 자계 구하기

①dH는 미소요소 하나의 기여 — 전체는 도선 전체를 적분

②H = ∮(Idℓ × r̂)/(4πr²) — 이 적분이 다양한 도체 형상에 적용

③대표적 결과: 직선 전류, 원형 전류, 솔레노이드

대표 적용: 직선 & 원형 전류

관측 거리 r [m]2 m

직선 전류 H=I/2πr, 원형 코일 중심 H=I/2a 비교

무한 직선 전류의 자계

H = I / (2πr) [A/m]

r: 도선으로부터의 수직 거리 — 동심원 형태로 분포

💡 핵심 결과 비교

①무한 직선: H = I/(2πr) — 거리에 반비례 (1/r)

②원형 중심: H = I/(2a) — 반지름에 반비례

③원형 축 위: H = Ia²/[2(a²+x²)^(3/2)] — x가 중심에서의 거리

시험 핵심 정리

비오-사바르

dH = Idℓsinα/(4πr²)

기본 법칙

직선 전류

H = I/(2πr)

무한 직선

원형 중심

H = I/(2a)

코일 중심

원형 축 위

H = Ia²/2(a²+x²)⁽3/2)

중심축 거리 x

🎯 시험 포인트

①비오-사바르: dH 방향은 Idℓ × r̂ (오른나사 법칙)

②무한 직선: H = I/(2πr) — 가장 출제 포인트!

③원형 중심: H = I/(2a) — 2πr이 아니라 2a임에 주의

④원형 축 위 공식에서 x=0 대입하면 중심 공식 H=I/(2a) 복원

⑤유한 직선: H = I(cosα₁−cosα₂)/(4πr) — 양 끝 각도에 의존

📝 대표 기출문제

①[무한직선] 10A가 흐르는 무한장 직선에서 5cm 떨어진 점의 H = I/(2πr) = 10/(2π×0.05) ≈ 31.8 AT/m

②[원형코일] 반지름 20cm, 5A → 중심 H = I/(2a) = 5/(2×0.2) = 12.5 AT/m

③[축 위] 반지름 a=10cm 코일 중심에서 x=10cm 떨어진 축 위 → H = Ia²/2(a²+x²)^(3/2)