전자기학›5장 정자계

앙페르 주회적분 법칙

Ampere's Circuital Law

자계를 한 바퀴 돌면 전류가 보인다

🔄 앙페르 법칙의 본질

①비오-사바르: 전류 → 자계 (미분 → 적분으로 구함)

②앙페르 법칙: 자계를 폐경로로 한 바퀴 적분 → 관통 전류와 같다!

③대칭성이 좋은 문제에서 비오-사바르보다 훨씬 간편합니다

앙페르 법칙 시각화

전류 I [A]5 A

폐경로 반지름 r [m]3 m

앙페르 경로를 따라 H·dℓ 적분 — 경로 내 전류의 합과 같다

🔑 핵심 관찰

①폐경로 C 위의 H를 한 바퀴 적분하면 정확히 관통 전류 I와 같습니다

②경로 크기(r)를 바꿔도 ∮H·dℓ = I는 변하지 않습니다!

③H 자체는 r에 따라 변하지만, 경로적분의 총합은 항상 I

앙페르 주회적분 법칙

앙페르 주회적분 법칙 (적분형)

∮ H · dℓ = I (= ΣI_enclosed)

폐경로 C를 따라 H를 선적분한 값 = 경로를 관통하는 총 전류

앙페르 법칙 (미분형 = 벡터의 회전)

∇ × H = J [A/m²]

curl H = 전류밀도 J — 자계의 회전(curl)은 전류밀도와 같다

⚡ 적분형 ↔ 미분형

①적분형: ∮H·dℓ = I — 대칭적인 문제에 직접 사용

②미분형: ∇×H = J — 스토크스 정리로 연결됨

③∮H·dℓ = ∫∫(∇×H)·dA = ∫∫J·dA = I — 동일한 법칙의 두 표현

적용: 솔레노이드와 토로이드

감은 횟수 N10 turns

무한장 솔레노이드 H=nI, 환상 솔레노이드 H=NI/2πr

솔레노이드 내부 자계

H = nI = (N/ℓ)·I [A/m]

n: 단위길이당 감은 수 [turns/m], 내부 균일, 외부 ≈ 0

💡 솔레노이드 vs 토로이드

①솔레노이드: 내부 균일 자계 H = nI, 외부 ≈ 0 — "곧은 코일"

②토로이드: 내부만 H 존재, H = NI/(2πr) — "도넛 코일"

③둘 다 앙페르 법칙으로 간단히 풀림 (비오-사바르로는 매우 복잡)

시험 핵심 정리

적분형

∮H·dℓ = I

폐경로 적분

미분형

∇×H = J

벡터의 회전

솔레노이드

H = nI

n = N/ℓ

토로이드

H = NI/(2πr)

내부만 자계

🎯 시험 포인트

①∮H·dℓ = I — 폐경로를 관통하는 총 전류(방향 고려!)

②미분형 ∇×H = J — curl H는 전류밀도

③솔레노이드: H = nI (내부 균일), n = N/ℓ [turns/m]

④토로이드: H = NI/(2πr), 외부 H = 0 (누설자속 무시)

⑤앙페르 법칙은 대칭성 있을 때 사용 — 비대칭이면 비오-사바르 사용

📝 대표 기출문제

①[무한솔레노이드] 단위 길이당 1000회, 2A → H = nI = 1000×2 = 2000 AT/m

②[환상솔레노이드] N=500회, I=3A, 평균반지름 r=0.1m → H = NI/(2πr) = 500×3/(2π×0.1) ≈ 2387 AT/m

③[앙페르법칙] 반지름 5cm인 원형 경로 내에 총 10A 통과 → ∮H·dℓ = 10A