회로이론 및 제어공학›4장 과도현상

과도현상

Transient Response

스위치를 넣는 순간, 회로에 무슨 일이?

🔍 과도현상이란?

①스위치 ON/OFF 순간 → 회로가 새 정상상태로 이동하는 과정에서 발생하는 일시적 응답

②비유: 수도꼭지를 열면 물이 바로 콸콸 나오지 않고 잠깐 출렁이다가 안정된다

③과도응답 = 자유응답(자연소멸) + 강제응답(정상상태) — 시간이 지나면 자유응답은 사라진다

1차 회로: RL과 RC의 시정수

시정수 τ1 s

R-L 직렬 응답

i(t) = (V/R)(1 − e⁽−t/τ)), τ = L/R

RL 충전: 전류가 0에서 V/R까지 지수적으로 상승. τ = L/R [초].

R-L 방전 (전원 제거)

i(t) = (V/R) e⁽−t/τ)

RL 방전: 전류가 V/R에서 0으로 지수적으로 감소.

인덕터 저장 에너지

W = ½LI² [J]

L에 전류 I가 흐를 때 자기에너지로 저장. 전류 차단 시 이 에너지가 방출된다.

🔑 시정수 τ의 물리적 의미

①t = 1τ에서 최종값의 63.2%에 도달 — 초기 기울기의 접선이 최종값과 만나는 시점

②t = 3τ에서 95%, t = 5τ에서 99.3% → 공학적으로 5τ이면 "정상상태 도달"

③τ가 클수록 느리게 변한다 — L이 크면(관성 큼), R이 작으면(제동 약함) τ 증가

2차 회로: RLC의 감쇠와 진동

감쇠비 ζ0.3

고유진동수 ωₙ4 rad/s

RLC 직렬 특성방정식

s² + 2ζω_n s + ω_n² = 0, ω_n = 1√(LC)

ωₙ: 비감쇠 고유진동수, ζ: 감쇠비. ζ의 크기에 따라 응답 형태가 완전히 달라진다.

감쇠비와 감쇠진동수

ζ = R2 √(CL), ω_d = ω_n √(1 − ζ²)

ζ: 감쇠비, ωd: 감쇠진동수 (부족감쇠 시 실제 진동 주파수). 임계저항 R_cr = 2√(L/C).

⚡ 감쇠비에 따른 4가지 응답

①ζ = 0 (무감쇠): 영원히 진동 — R = 0인 이상적 LC 회로

②0 < ζ < 1 (부족감쇠): 진동하면서 감쇠 → 가장 흔한 실제 응답, 오버슈트 발생

③ζ = 1 (임계감쇠): 진동 없이 가장 빠르게 정상상태 도달

④ζ > 1 (과감쇠): 진동 없지만 느리게 수렴 — 두 실수 극

과도응답의 성능 지표

최대 오버슈트

Mp = e⁽−ζπ/√(1−ζ²)) × 100%

부족감쇠(ζ<1)에서만 발생. ζ가 작을수록 오버슈트가 크다. ζ≈0.707일 때 Mp≈4.3%.

상승시간 & 정정시간

t_r ≈ (π−θ)/ω_d, t_s ≈ 4/(ζωₙ) (2% 기준)

t_r: 0→100% 처음 도달, t_s: ±2% 이내 진입. ω_d = ωₙ√(1−ζ²): 감쇠진동수.

미분/적분 회로

미분: v_R = V·e⁽−t/τ), 적분: v_C = (1/RC)∫v dt

RC 회로에서 τ ≪ T이면 미분회로, τ ≫ T이면 적분회로로 동작한다 (T: 입력 주기).

💡 설계 트레이드오프

①ζ를 줄이면: 빠르지만 오버슈트↑, 진동↑ (위험)

②ζ를 키우면: 안정적이지만 느리다 (에너지 낭비)

③최적: ζ ≈ 0.707 (√2/2) → 오버슈트 ≈ 4.3%, 적당히 빠르고 안정 → 시험 핵심!

총정리

📋 과도현상 핵심 공식 요약

①RL(τ=L/R), RC(τ=RC) 시정수가 1차 회로의 과도응답 속도를 결정

②2차 RLC에서 감쇠비 ζ에 따라 과감쇠/임계감쇠/부족감쇠/무감쇠 4가지 응답

RL 시정수

τ = L/R

i = (V/R)(1−e⁽−t/τ))

RC 시정수

τ = RC

v_C = V(1−e⁽−t/τ))

🔗 1차 회로 vs 2차 회로

1차(RL, RC)는 시정수 τ 하나로 결정되고, 2차(RLC)는 감쇠비 ζ가 응답 형태를 결정한다

RLC 감쇠비

ζ = R/(2√(L/C))

ωₙ = 1/√(LC)

오버슈트

Mp = e⁽−ζπ/√(1−ζ²))

ζ < 1일 때만

🎯 시험 포인트

①시정수 τ: RL→L/R, RC→RC — 충전: (1−e^(−t/τ)), 방전: e^(−t/τ)

②저장 에너지: 인덕터 W=½LI², 커패시터 W=½CV² — 에너지 계산이 중요

③5τ ≈ 정상상태(99.3%), 1τ = 63.2% — 시정수 기반 도달률 암기

④RLC 직렬: ωₙ=1/√(LC), ζ=R/2·√(C/L), ωd=ωₙ√(1−ζ²)

⑤임계저항 R_cr = 2√(L/C) — R>R_cr→과감쇠, R<R_cr→부족감쇠

⑥최적 감쇠: ζ≈0.707 → Mp≈4.3%, 적당히 빠르고 안정

⑦미분회로: τ≪T(입력주기), 적분회로: τ≫T — RC 회로 응용