회로이론 및 제어공학›4장 과도현상

전달함수

Transfer Function & Laplace Transform

라플라스 변환: 미분방정식을 '곱셈'으로 바꾸는 마법
🔍 왜 라플라스 변환인가?
①회로의 과도현상 = 미분방정식 풀기 — 손으로 풀면 매우 복잡하다
②라플라스 변환: 시간(t) 세계의 미분을 → s 세계의 곱셈으로 바꿔준다
③비유: 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 "로그"처럼, 미분을 곱셈으로 바꿔주는 도구
⚡ 라플라스 변환의 핵심 성질
①미분 정리: ℒ{f'(t)} = sF(s) − f(0⁻) → 미분이 s를 곱하는 것으로!
②적분 정리: ℒ{∫f(t)dt} = F(s)/s → 적분이 s로 나누는 것으로!
③초기값: f(0⁺) = lim(s→∞) sF(s), 최종값: f(∞) = lim(s→0) sF(s)
자주 쓰는 라플라스 변환 쌍
단위 계단
ℒ{u(t)} = 1s
u(t): t≥0에서 1, t<0에서 0. 회로에 전원을 '켜는' 순간을 표현.
t의 거듭제곱
ℒ{tn} = n!sn+1
ℒ{t} = 1/s², ℒ{t²} = 2/s³. 계단→램프→포물선 순서.
🔑 실전에서 자주 쓰는 변환
①단위계단·t의 거듭제곱은 기본, 아래 3개(지수감쇠·정현파·감쇠정현파)가 시험 핵심
②감쇠정현파는 2차 시스템의 과도응답에 직접 연결된다
지수 감쇠
ℒ{e−at} = 1s + a
a > 0이면 시간이 갈수록 0으로 감쇠. RC/RL 회로의 기본 응답.
정현파
ℒ{sin ωt} = ωs2 + ω2
ℒ{cos ωt} = s/(s²+ω²). 교류 전원의 라플라스 표현.
감쇠 정현파
ℒ{e−at sin ωt} = ω(s+a)2 + ω2
부족감쇠 RLC 회로의 자유응답 형태. 이동 정리: s→s+a 치환.
전달함수: 시스템의 '지문'
5 rad/s
0.4
2차 시스템 전달함수
H(s) = ωn2s2 + 2ζωn s + ωn2
ωₙ: 고유진동수, ζ: 감쇠비. 분모 = 0의 근이 극(pole)이며, 시스템 응답 특성을 결정한다.
1차 시스템 전달함수
G(s) = Kτs + 1
K: 이득, τ: 시정수. RL(τ=L/R) 또는 RC(τ=RC) 회로가 대표적 1차 시스템.
🔑 극의 위치와 시스템 특성
①극이 좌반면(Re < 0)에 있으면 안정 — 응답이 시간이 가면 0으로 수렴
②극이 허수축에 가까울수록(ζ 작을수록) 진동이 심하다
③극이 원점에서 멀수록(ωₙ 클수록) 응답이 빠르다
s영역 회로 해석과 부분분수 전개
s영역 소자 임피던스
R → R, L → sL (초기: LI(0)), C → 1sC (초기: V(0)s)
시간영역 소자를 s영역으로 변환. 초기조건이 전압원/전류원으로 자동 반영된다.
부분분수 전개
F(s) = A/(s+a) + B/(s+b) + ... → f(t) = Ae⁻ᵃᵗ + Be⁻ᵇᵗ + ...
복잡한 F(s)를 간단한 분수의 합으로 쪼개면, 각각을 변환표에서 바로 역변환할 수 있다.
중근이 있는 경우
A/(s+a)² → A·t·e⁻ᵃᵗ
중근(임계감쇠)일 때 t·e⁻ᵃᵗ 항이 등장한다.
💡 부분분수 계수 구하기 — Heaviside 방법
①단근: A = [(s+a)·F(s)]_{s=−a} → 해당 극을 대입하면 바로 계수가 나온다
②복소 극: 켤레쌍으로 묶어서 2차식으로 처리 → 감쇠 정현파로 역변환
③시험에서는 "부분분수 → 변환표 역변환"이 핵심 패턴
총정리
📋 라플라스와 전달함수 핵심 요약
①라플라스 정의·미분정리로 미분방정식을 대수식으로 변환
②전달함수 G(s)의 극(pole)이 안정성을, 최종값정리가 정상상태를 결정한다
라플라스 정의
F(s) = ∫₀∞ f(t)e⁻ˢᵗ dt
s = σ + jω
미분 정리
ℒ{f'} = sF(s) − f(0⁻)
미분 → s 곱셈
🔑 라플라스 변환의 핵심
변환 정의와 미분 정리를 알면 전달함수를 구할 수 있고, 최종값 정리로 정상상태를 확인한다
전달함수
H(s) = Y(s)/X(s)
출력/입력 (초기값=0)
최종값 정리
f(∞) = lim sF(s)
s→0, 안정 시스템만
🎯 시험 포인트
①ℒ{1}=1/s, ℒ{t}=1/s², ℒ{tⁿ}=n!/s^(n+1) — 반드시 암기
②이동 정리: ℒ{e⁻ᵃᵗf(t)}=F(s+a) → s를 s+a로 치환
③초기값: f(0⁺)=lim(s→∞)sF(s), 최종값: f(∞)=lim(s→0)sF(s) — 최종값은 안정계만 유효
④s영역 소자: R→R, L→sL, C→1/(sC) — 초기조건이 전원으로 자동 반영
⑤1차계 G(s)=K/(τs+1), 2차계 G(s)=ωn²/(s²+2ζωns+ωn²) — 형태 암기
⑥전달함수의 극 = 특성방정식의 근 → 안정: 모든 극의 실수부 < 0
⑦부분분수 전개 후 역변환: 시험 핵심 풀이 패턴