회로이론 및 제어공학›5장 제어공학 기초

상태공간 해석

State Space Analysis

상태변수: 시스템의 '기억'을 수학으로

🔍 왜 상태공간인가?

①전달함수: 입력→출력 관계만 보여줌 → 시스템 "내부"가 보이지 않는다

②상태변수: 시스템의 현재 상태를 완전히 기술하는 최소한의 변수 집합

③비유: 자동차의 위치와 속도를 알면 → 미래 운동을 완전히 예측 가능 (상태 = {위치, 속도})

⚡ 상태변수 선택법

①RLC 회로: 커패시터 전압(v_C)과 인덕터 전류(i_L)가 상태변수

②n차 미분방정식 → n개의 상태변수 필요

③상태변수 선택은 유일하지 않다 — 다른 선택도 같은 시스템을 표현

상태방정식: 행렬로 표현하는 시스템

상태방정식

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

x: 상태벡터(n×1), A: 시스템 행렬(n×n), B: 입력 행렬(n×m), u: 입력벡터(m×1).

출력방정식

y(t) = Cx(t) + Du(t)

C: 출력 행렬(p×n), D: 직접전달 행렬(p×m). 보통 D = 0.

전달함수와의 관계

G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D

상태공간 → 전달함수 변환. det(sI−A) = 0이 특성방정식.

🔑 행렬 A가 핵심

①A의 고유값(eigenvalue) = 시스템의 극(pole) = 특성방정식의 근

②모든 고유값의 실수부 < 0 → 안정 (좌반면)

③A의 크기 = 시스템 차수 = 상태변수의 수

위상 평면: 상태 궤적을 눈으로 보다

고유값 λ₁ (= a₁₁)-1.5

고유값 λ₂ (= a₂₂)-0.5

🔑 고유값과 궤적 패턴

①두 고유값 모두 음수: 안정 노드 → 모든 궤적이 원점으로 수렴

②두 고유값 모두 양수: 불안정 노드 → 모든 궤적이 원점에서 발산

③부호가 다르면: 안장점 → 한 방향은 수렴, 다른 방향은 발산 (불안정)

상태천이행렬과 시스템 응답

상태천이행렬

Φ(t) = e⁽At) = ℒ⁻¹{(sI − A)⁻¹}

자유응답: x(t) = Φ(t)x(0). Φ(0) = I, Φ(t₁+t₂) = Φ(t₁)Φ(t₂).

완전 응답

x(t) = e⁽At)x(0) + ∫₀ᵗ e⁽A(t−τ))Bu(τ)dτ

첫 항: 초기조건에 의한 자유응답, 둘째 항: 입력에 의한 강제응답 (컨볼루션 적분).

💡 가제어성과 가관측성

①가제어성(Controllability): 임의의 초기상태에서 임의의 목표상태로 이동 가능한가?

②판별: rank[B, AB, A²B, ...] = n이면 완전 가제어

③가관측성(Observability): 출력을 관측하여 초기상태를 완전히 결정할 수 있는가?

④판별: rank[C; CA; CA²; ...] = n이면 완전 가관측

총정리

📋 상태공간 핵심 공식 요약

①상태방정식 ẋ=Ax+Bu, 출력방정식 y=Cx+Du — 행렬 A의 고유값이 극점

②상태천이행렬 Φ(t)=e^(At)로 시간 응답을 구하고, G(s)=C(sI-A)⁻¹B+D로 전달함수 변환

상태방정식

ẋ = Ax + Bu

y = Cx + Du

전달함수 변환

G = C(sI−A)⁻¹B + D

det(sI−A)=0: 특성방정식

🔗 상태공간 → 전달함수 → 안정도

상태방정식에서 전달함수를 구하고, 고유값으로 안정도를 판별하는 흐름

상태천이행렬

Φ(t) = e⁽At)

x(t) = Φ(t)x(0) + ...

안정 조건

모든 λ의 Re < 0

A의 고유값 = 극

🎯 시험 포인트

①상태변수 수 = 시스템 차수 = A 행렬의 크기 = 에너지 저장 소자 수 (독립적인)

②G(s) = C(sI−A)⁻¹B + D에서 (sI−A)⁻¹ = adj(sI−A)/det(sI−A) → 분모 = 특성다항식

③상태천이행렬 성질: Φ(0)=I, Φ⁻¹(t)=Φ(−t), Φ(t₁+t₂)=Φ(t₁)Φ(t₂)

④가제어성 행렬 [B|AB|A²B|...]: n×n 행렬의 rank = n이면 가제어

⑤대각화 가능하면 e^(At) 계산이 쉬워진다: Φ(t) = P·diag(e^(λᵢt))·P⁻¹